次の命題 (p) , (q) のそれぞれについて, 正しいかどうか答えよ. 正しければ証明し, 正しくなければ反例を挙げて正しくないことを説明せよ.
(p) 正 \(n\) 角形の頂点から \(3\) 点を選んで内角の \(1\) つが \(60^{\circ}\) である三角形を作ることができるならば, \(n\) は \(3\) の倍数である.
(q) △ABC と △ABD において, \(\text{AC} \lt \text{AD}\) かつ \(\text{BC} \lt \text{DB}\) ならば, \(\angle \text{C} \gt \angle \text{D}\) である.
さいころを \(n\) 回投げて出た目を順に \(X _ 1 , X _ 2 , \cdots , X _ n\) とする. さらに \[ Y _ 1 = X _ 1 , \ Y _ k = X _ k +\dfrac{1}{Y _ {k-1}} \quad ( k =2, \cdots , n ) \] によって \(Y _ 1 , Y _ 2 , \cdots , Y _ n\) を定める. \[ \dfrac{1+\sqrt{3}}{2} \leqq Y _ n \leqq 1+\sqrt{3} \] となる確率 \(p _ n\) を求めよ.
正四面体 ABCD を考える. 点 P は時刻 \(0\) では頂点 A に位置し, \(1\) 秒ごとにある頂点から他の \(3\) 頂点のいずれかに, 等しい確率で動くとする. このとき, 時刻 \(0\) から時刻 \(n\) までの間に, \(4\) 頂点 A, B, C, D のすべてに点 P が現れる確率を求めよ. ただし \(n\) は \(1\) 以上の整数とする.
空間の \(1\) 点 O を通る \(4\) 直線で, どの \(3\) 直線も同一平面上にないようなものを考える. このとき, \(4\) 直線のいずれとも O 以外の点で交わる平面で, \(4\) つの交点が平行四辺形の頂点になるようなものが存在することを示せ.
定数 \(a\) は実数であるとする. 関数 \(y= | x^2-2 |\) と \(y= | 2x^2+ax-1 |\) のグラフの共有点はいくつあるか. \(a\) の値によって分類せよ.
次の式で与えられる底面の半径が \(2\) , 高さが \(1\) の円柱 \(C\) を考える. \[ C = \left\{ (x,y,z) | x^2+y^2 \leqq 4 , \ 0 \leqq z \leqq 1 \right\} \] \(xy\) 平面上の直線 \(y=1\) を含み, \(xy\) 平面と \(45^{\circ}\) の角をなす平面のうち, 点 \((0, 2, 1)\) を通るものを \(H\) とする. 円柱 \(C\) を平面 \(H\) で \(2\) つに分けるとき, 点 \((0, 2, 0)\) を含む方の体積を求めよ.
地球上の北緯 \(60^{\circ}\) 東経 \(135^{\circ}\) の地点を A , 北緯 \(60^{\circ}\) 東経 \(75^{\circ}\) の地点を B とする.
A から B に向かう \(2\) 種類の飛行経路 \(R _ 1\) , \(R _ 2\) を考える.
\(R _ 1\) は西に向かって同一緯度で飛ぶ経路とする. \(R _ 2\) は地球の大円に沿った経路のうち, 飛行距離の短い方とする.
\(R _ 1\) に比べて \(R _ 2\) は飛行距離が \(3 \%\) 以上短くなることを示せ.
ただし, 地球は完全な球体であるとし, 飛行機は高度 \(0\) を飛ぶものとする. また必要があれば, この冊子の \(5\) ページと \(6\) ページの三角関数表を用いよ.
注：大円とは, 球を球の中心を通る平面で切ったとき, その切り口にできる円のことである.
※ 当サイトでは, 三角関数表は省略します.