\(a\) を正の実数とする. 座標平面において曲線 \(y = \sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \pi \right)\) と \(x\) 軸とで囲まれた図形の面積を \(S\) とし, 曲線 \(y = \sin x \ \left( 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) , 曲線 \(y = a \cos x \ \left( 0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2} \right)\) および \(x\) 軸とで囲まれた図形の面積を \(T\) とする. このとき, \(S : T = 3 : 1\) となるような \(a\) の値を求めよ.
\(1 \lt a \lt 2\) とする. \(3\) 辺の長さが \(\sqrt{3} , a , b\) である鋭角三角形の外接円の半径が \(1\) であるとする. このとき \(a\) を用いて \(b\) を表せ.
次の問いに答えよ.
(1) \(n\) を正の整数, \(a = 2^n\) とする. \(3^a-1\) は \(2^{n+2}\) で割り切れるが \(2^{n+3}\) では割り切れないことを示せ.
(2) \(m\) を正の偶数とする. \(3^m-1\) が \(2^m\) で割り切れるならば \(m = 2\) または \(m = 4\) であることを示せ.
\(n\) 個のボールを \(2n\) 個の箱へ投げ入れる. 各ボールはいずれかの箱に入るものとし, どの箱に入る確率も等しいとする. どの箱にも \(1\) 個以下のボールしか入っていない確率を \(p _ n\) とする. このとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{\log p _ n}{n}\) を求めよ.
次の各問に答えよ.
(1) 箱の中に, \(1\) から \(9\) までの番号を \(1\) つずつ書いた \(9\) 枚のカードが入っている. ただし, 異なるカードには異なる番号が書かれているものとする. この箱から \(2\) 枚のカードを同時に選び, 小さいほうの数を \(X\) とする. これらのカードを箱に戻して, 再び \(2\) 枚のカードを同時に選び, 小さいほうの数を \(Y\) とする. \(X=Y\) である確率を求めよ.
(2) 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^{\frac{1}{2}} ( x+1 ) \sqrt{1 -2x^2} \, dx\) を求めよ.
\(a , b , c\) を実数とし, O を原点とする座標平面において, 行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ b & c \end{array} \right)\) によって表される \(1\) 次変換を \(T\) とする. この \(1\) 次変換 \(T\) が \(2\) つの条件
(i) 点 \(( 1 , 2 )\) を点 \(( 1 , 2 )\) に移す.
(ii) 点 \(( 1 , 0 )\) と点 \(( 0 , 1 )\) が \(T\) によって点 A, B にそれぞれ移るとき, △OAB の面積が \(\dfrac{1}{2}\) である.
を満たすとき, \(a , b , c\) を求めよ.
\(xy\) 平面上で, \(y=x\) のグラフと \(y =\left| \dfrac{3}{4} x^2 -3 \right| -2\) のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ.
\(n\) は \(2\) 以上の整数であり, \(\dfrac{1}{2} \lt a _ j \lt 1 \quad ( j = 1, 2, \cdots, n )\) であるとき, 不等式 \[\begin{align} ( 1 -a _ 1 ) & ( 1 -a _ 2 ) \cdots ( 1 -a _ n ) \\ & \gt 1 -\left( a _ 1 +\dfrac{a _ 2}{2} + \cdots + \dfrac{a _ n}{2^{n-1}} \right) \end{align}\] が成立することを示せ.