\(t \gt 0\) において定義された関数 \(f(t)\) は次の条件 (ア) (イ) を満たす.

1. (ア)　\(t \gt 0\) のとき, すべての実数 \(x\) に対して不等式 \[ t \cdot \dfrac{e^x +e^{-x}}{2} +f(t) \geqq 1+x \] が成り立つ.

2. (イ)　\(t \gt 0\) に対して, 等式 \[ t \cdot \dfrac{e^x +e^{-x}}{2} +f(t) = 1+x \] を満たす実数 \(x\) が存在する.

このとき, \(f(t)\) を求めよ.

\(\textstyle\sum\limits _ {n=1}^{40000} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) の整数部分を求めよ.

半径 \(1\) の \(2\) つの球 \(S _ 1\) と \(S _ 2\) が \(1\) 点で接している. 互いに重なる部分のない等しい半径を持つ \(n\) 個（ \(n \geqq 3\) ）の球 \(T _ 1 , T _ 2 , \cdots , T _ n\) があり, 次の条件 (ア) (イ) を満たす.

1. (ア)　\(T _ {i}\) は \(S _ 1 , S _ 2\) にそれぞれ \(1\) 点で接している（ \(i = 1 , 2 , \cdots , n\) ）.

2. (イ)　\(T _ i\) は \(T _ {i+1}\) に \(1\) 点で接しており（ \(i = 1 , 2 , \cdots , n-1\) ）, そして \(T _ n\) は \(T _ 1\) に \(1\) 点で接している.

このとき, 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(T _ 1 , T _ 2 , \cdots , T _ n\) の共通の半径 \(r _ n\) を求めよ.

2. (2)　\(S _ 1\) と \(S _ 2\) の中心を結ぶ直線のまわりに \(T _ 1\) を回転してできる回転体の体積を \(V _ n\) とし, \(T _ 1 , T _ 2 , \cdots , T _ n\) の体積の和を \(W _ n\) とするとき, 極限 \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{W _ n}{V _ n} \ . \] を求めよ.

さいころを繰り返し投げ, \(n\) 回目に出た目を \(X _ n\) とする. \(n\) 回目までに出た目の積 \(X _ 1 X _ 2 \cdots X _ n\) を \(T _ n\) で表す. \(T _ n\) を \(5\) で割った余りが \(1\) である確率を \(p _ n\) とし, 余りが \(2, 3, 4\) のいずれかである確率を \(q _ n\) とする.

1. (1)　\(p _ n +q _ n\) を求めよ.

2. (2)　\(p _ {n+1}\) を \(p _ n\) と \(n\) を用いて表せ.

3. (3)　\(r _ n = \left( \dfrac{6}{5} \right)^n p _ n\) とおいて \(r _ n\) を求めることにより, \(p _ n\) を \(n\) の式で表せ.

三角関数の極限に関する公式 \[ \displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \] を示すことにより, \(\sin x\) の導関数が \(\cos x\) であることを証明せよ.

不等式 \[ 1 \leqq \left| |x|-2 \right| +\left| |y|-2 \right| \leqq 3 \ . \] の表す領域を \(xy\) 平面上に図示せよ.

\(4\) 個の整数 \[ n+1 , \ n^3+3 , \ n^5+5 , \ n^7+7 \] がすべて素数となるような正の整数 \(n\) は存在しない. これを証明せよ.

\(xyz\) 空間内の \(3\) 点 O \((0,0,0)\) , A \((1,0,0)\) , B \((1,1,0)\) を頂点とする三角形 OAB を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる円すいを \(V\) とする. 円すい \(V\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.