放物線 \(C : \ y=x^2\) 上の点 \(\text{A} _ 1 \left( a _ 1 , {a _ 1}^2 \right)\) , \(\text{A} _ 2 \left( a _ 2 , {a _ 2}^2 \right)\) , \(\text{A} _ 3 \left( a _ 3 , {a _ 3}^2 \right)\) , ... を, \(\text{A} _ {k+2}\) （ \(k \geqq 1\) ）における \(C\) の接線が直線 \(\text{A} _ k \text{A} _ {k+1}\) に平行であるようにとる. ただし, \(a _ 1 \lt a _ 2\) とする. 三角形 \(\text{A} _ k \text{A} _ {k+1} \text{A} _ {k+2}\) の面積を \(T _ k\) とし, 直線 \(\text{A} _ 1 \text{A} _ 2\) と \(C\) で囲まれた部分の面積を \(S\) とする. このとき次の問いに答えよ.

1. (1)　\(\dfrac{T _ {k+1}}{T _ k}\) を求めよ.

2. (2)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} T _ k\) を \(S\) を用いて表せ.

行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} \cos \dfrac{\pi}{3} & -\sin \dfrac{\pi}{3} \\ \sin \dfrac{\pi}{3} & \cos \dfrac{\pi}{3} \end{array} \right)\) の表す \(1\) 次変換を \(f\) とする. 点 P \(( 16\sqrt{3}, 16 )\) をとり, \(\text{P} _ 1 = f( \text{P} )\) , \(\text{P} _ {n+1} = f( \text{P} _ n )\) （ \(n=1, 2, 3, \cdots\) ）とする. 正の整数 \(k\) に対して, 次の条件をみたす領域を \(D _ k\) とする. \[ x \lt 0 , \ y \lt 0 , \ \sqrt{3}x +y \leqq -2^{-k} \] このとき \(D _ k\) に含まれる \(\text{P} _ n\) の個数を \(k\) で表せ.

\(\alpha\) を \(2\) 次方程式 \(x^2-2x-1 = 0\) の解とするとき, \(( a+5 \alpha )( b+5c \alpha )=1\) をみたす整数の組 \((a, b, c)\) をすべて求めよ. ただし, 必要ならば \(\sqrt{2}\) が無理数であることは証明せずに用いてよい.

平面上の三角形 OAB を考え, 辺 AB の中点を M とする. \[ \overrightarrow{a} = \dfrac{\overrightarrow{\text{OA}}}{\left| \overrightarrow{\text{OA}} \right|} , \quad \overrightarrow{b} = \dfrac{\overrightarrow{\text{OB}}}{\left| \overrightarrow{\text{OB}} \right|} \] とおき, 点 P を \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{\text{OP}} = -\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{\text{OP}} \gt 0\) であるようにとる. 直線 OP に A から下ろした垂線と直線 OP の交点を Q とする.

1. (1)　\(\overrightarrow{\text{MQ}}\) と \(\overrightarrow{b}\) は平行であることを示せ.

2. (2)　\(\left| \overrightarrow{\text{MQ}} \right| =\dfrac{1}{2} \left( \left| \overrightarrow{\text{OA}} \right| + \left| \overrightarrow{\text{OB}} \right| \right)\) であることを示せ.

\(n=1, 2, 3, \cdots\) に対して, \(y=\log (nx)\) と \(\left( x-\dfrac{1}{n} \right)^2+y^2=1\) の交点のうち第 \(1\) 象限にある点を \(( p _ n , q _ n )\) とする.

1. (1)　不等式 \(1-{q _ n}^2 \leqq \dfrac{(e-1)^2}{n^2}\) を示すことにより, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} q _ n =1\) を証明せよ. ただし, \(e\) は自然対数の底である.

2. (2)　\(S _ n = \displaystyle\int _ {\frac{1}{n}}^{p _ n} \log (nx) \, dx\) を \(p _ n\) で表せ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n S _ n\) を求めよ.

関数 \[ f(x) = 2 \log \left( 1+e^x \right) -x -\log 2 \] を考える.

1. (1)　\(f(x)\) の第 \(2\) 次導関数を \(f''(x)\) とする. 等式 \[ \log f''(x) = -f(x) \] が成り立つことを示せ.

2. (2)　定積分 \(\displaystyle\int _ 0^{\log 2} \left( x-\log 2 \right) e^{-f(x)} \, dx\) を求めよ.

\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) とする. \(2\) つの曲線 \[ C _ 1 : \ x^2 + 3y^2 = 3 , \quad C _ 2 : \ \dfrac{x^2}{\cos^2 \theta} - \dfrac{y^2}{\sin^2 \theta} = 2 \] の交点のうち, \(x\) 座標と \(y\) 座標がともに正であるものを P とする. P における \(C _ 1 , C _ 2\) の接線をそれぞれ \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) とし, \(y\) 軸と \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) の交点をそれぞれ Q , R とする. \(\theta\) が \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) の範囲を動くとき, 線分 QR の長さの最小値を求めよ.

\(\ell , m , n\) を \(3\) 以上の整数とする. 等式 \[ \left( \dfrac{n}{m} -\dfrac{n}{2} +1 \right) \ell = 2 \] を満たす \(\ell , m , n\) の組をすべて求めよ.