\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. 平面上に \(n+2\) 個の点O, \(\text{P} {} _ 0 , \text{P} {} _ 1 , \cdots , \text{P} {} _ n\) があり, 次の \(2\) つの条件をみたしている.

1. [1]　\(\angle \text{P} {} _ {k-1} \text{OP} {} _ {k} = \dfrac{\pi}{n} \quad ( \ 1 \leqq k \leqq n \ )\) , \(\angle \text{OP} {} _ {k-1} \text{P} {} _ {k} = \angle \text{OP} {} _ {0} \text{P} {} _ {1} \ ( \ 2 \leqq k \leqq n \ )\) .

2. [2]　線分 \(\text{OP} {} _ {0}\) の長さは \(1\) , 線分 \(\text{OP} {} _ {1}\) の長さは \(1 +\dfrac{1}{n}\) である.

線分 \(\text{P} {} _ {k-1} \text{P} {} _ {k}\) の長さを \(a _ k\) とし, \(s _ k = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} a _ k\) とおくとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} s _ n\) を求めよ.

座標平面上の \(2\) 点 P , Q が, 曲線 \(y=x^2 \ ( -1 \leqq x \leqq 1 )\) 上を自由に動くとき, 線分 PQ を \(1 : 2\) に内分する点 R が動く範囲を \(D\) とする. ただし, \(\text{P} = \text{Q}\) のときは \(\text{R} = \text{P}\) とする.

1. (1)　\(a\) を \(-1 \leqq a \leqq 1\) をみたす実数とするとき, 点 \((a,b)\) が \(D\) に属するための \(b\) の条件を \(a\) を用いて表せ.

2. (2)　\(D\) を図示せよ.

以下の問いに答えよ.

1. (1)　実数 \(a\) に対し, \(2\) 次の正方行列 \(A , P , Q\) が, \(5\) つの条件 \(A = a P +(a+1) Q\) , \(P^2 = P\) , \(Q^2 = Q\) , \(PQ = O\) , \(QP = O\) をみたすとする. ただし, \(O = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) である. このとき, \((P+Q) A = A\) が成り立つことを示せ.

2. (2)　\(a\) は正の数として, 行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 1 & a+1 \end{array} \right)\) を考える. この \(A\) に対し, (1) の \(5\) つの条件をすべてみたす行列 \(P , Q\) を求めよ.

3. (3)　\(n\) を \(2\) 以上の整数とし, \(2 \leqq k \leqq n\) をみたす整数 \(k\) に対して \(A _ k = \left( \begin{array}{cc} k & 0 \\ 1 & k+1 \end{array} \right)\) とおく. 行列の積 \(A _ {n} A _ {n-1} A _ {n-2} \cdots A _ {2}\) を求めよ.

表が出る確率が \(p\) , 裏が出る確率が \(1-p\) であるような硬貨がある. ただし, \(0 \lt p \lt 1\) とする. この硬貨を投げて, 次のルール (R) の下で, ブロック積みゲームを行う.

1. (R)

   1. [1]　ブロックの高さは, 最初は \(0\) とする.

   2. [2]　硬貨を投げて表が出れば高さ \(1\) のブロックを \(1\) つ積み上げ, 裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さ \(0\) に戻す.

\(n\) を正の整数, \(m\) を \(0 \leqq m \leqq n\) をみたす整数とする.

1. (1)　\(n\) 回硬貨を投げたとき, 最後にブロックの高さが \(m\) となる確率 \(p _ m\) を求めよ.

2. (2)　(1) で, 最後にブロックの高さが \(m\) 以下となる確率 \(q _ m\) を求めよ.

3. (3)　ルール (R) の下で, \(n\) 回の硬貨投げを独立に \(2\) 度行い, それぞれ最後のブロックの高さを考える. \(2\) 度のうち, 高い方のブロックの高さが \(m\) である確率 \(r _ m\) を求めよ. ただし, 最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする.

以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(0 \lt x \lt a\) をみたす実数 \(x , a\) に対し, 次を示せ. \[ \dfrac{2x}{a} \lt \displaystyle\int _ {a-x}^{a+x} \dfrac{1}{t} \, dt \lt x \left( \dfrac{1}{a+x} +\dfrac{1}{a-x} \right) \]

2. (2)　(1) を利用して, 次を示せ. \[ 0.68 \lt \log 2 \lt 0.71 \] ただし, \(\log 2\) は \(2\) の自然対数を表す.

次の連立不等式で定まる座標平面上の領域 \(D\) を考える. \[ x^2 +(y-1)^2 \leqq 1 , \quad x \geqq \dfrac{\sqrt{2}}{3} \] 直線 \(\ell\) は原点を通り, \(D\) との共通部分が線分となるものとする. その線分の長さ \(L\) の最大値を求めよ. また, \(L\) が最大値をとるとき, \(x\) 軸と \(\ell\) のなす角 \(\theta \quad \left( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} \right)\) の余弦 \(\cos \theta\) を求めよ.

図のように, 正三角形を \(9\) つの部屋に辺で区切り, 部屋P, Qを定める. \(1\) つの球が部屋Pを出発し, \(1\) 秒ごとに, そのままその部屋にとどまることなく, 辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する. 球が \(n\) 秒後に部屋Qにある確率を求めよ.

座標平面上で \(2\) つの不等式 \[ y \geqq \dfrac{1}{2} x^2 , \quad \dfrac{x^2}{4} +4y^2 \leqq \dfrac{1}{8} \] によって定まる領域を \(S\) とする. \(S\) を \(x\) 軸のまわりに回転してできる立体の体積を \(V _ 1\) とし, \(y\) 軸のまわりに回転してできる立体の体積を \(V _ 2\) とする.

1. (1)　\(V _ 1\) と \(V _ 2\) の値を求めよ.

2. (2)　\(\dfrac{V _ 2}{V _ 1}\) の値と \(1\) の大小を比較せよ.