1. (1)　すべての自然数 \(k\) に対して, 次の不等式を示せ. \[ \dfrac{1}{2(k+1)} \lt \int _ 0^1 \dfrac{1-x}{k+x} dx \lt \dfrac{1}{2k} \]
2. (2)　\(m \gt n\) であるようなすべての自然数 \(m , n\) に対して, 次の不等式を示せ. \[ \dfrac{m-n}{2(m+1)(n+1)} \lt \log \dfrac{m}{n} -\textstyle\sum\limits _ {k=n+1}^m \dfrac{1}{k} \lt \dfrac{m-n}{2mn} \]

\(2\) つの箱 L と R , \(30\) 個のボール, コイン投げで表と裏が等確率 \(\dfrac{1}{2}\) で出るコインを \(1\) 枚用意する. \(x\) を \(0\) 以上 \(30\) 以下の整数とする. L に \(x\) , R に \(30-x\) 個のボールを入れ, 次の操作 (＃) を繰り返す.

1. (＃)　箱 L に入っているボールの個数を \(z\) とする. コインを投げ, 表が出れば箱 R から箱 L に, 裏が出れば箱 L から箱 R に, \(K(z)\) 個のボールを移す. ただし, \(0 \leqq z \leqq 15\) のとき \(K(z) = z\) , \(16 \leqq z \leqq 30\) のとき \(K(z) = 30-z\) とする.

\(m\) 回の操作の後, 箱 L のボールの個数が \(30\) である確率を \(P _ m(x)\) とする. たとえば \(P _ 1(15) = P _ 2(15) = \dfrac{1}{2}\) となる. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(m \geqq 2\) のとき, \(x\) に対して \(y\) を選び, \(P _ m(x)\) を \(P _ {m-1}(y)\) で表せ.

2. (2)　\(n\) を自然数とするとき, \(P _ {2n}(10)\) を求めよ.

3. (3)　\(n\) を自然数とするとき, \(P _ {4n}(6)\) を求めよ.

O を原点とする座標平面上の曲線 \[ C : \ y = \dfrac{1}{2} x + \sqrt{\dfrac{1}{4} x^2 + 2} \] と , その上の相異なる \(2\) 点 \(\text{P} {} _ 1 ( x _ 1 , y _ 1 )\) , \(\text{P} {} _ 2 ( x _ 2 , y _ 2 )\) を考える.

1. (1)　\(\text{P} {} _ i\) （ \(i = 1 , 2\) ）を通る \(x\) 軸に平行な直線と, 直線 \(y = x\) との交点を, それぞれ \(\text{H} {} _ i\) （ \(i = 1 , 2\) ）とする. このとき, \(\triangle \text{OP} {} _ 1 \text{H} {} _ 1\) と \(\triangle \text{OP} {} _ 2 \text{H} {} _ 2\) の面積は等しいことを示せ.

2. (2)　\(x _ 1 \lt x _ 2\) とする. このとき \(C\) の \(x _ 1 \leqq x \leqq x _ 2\) の範囲にある部分と, 線分 \(\text{P} {} _ 1 \text{O}\) , \(\text{P} {} _ 2 \text{O}\) とで囲まれる図形の面積を, \(y _ 1 , y _ 2\) を用いて表せ.

\(C\) を半径 \(1\) の円周とし, A を \(C\) 上の \(1\) 点とする. \(3\) 点 P , Q , R が A を時刻 \(t = 0\) に出発し, \(C\) 上を各々一定の速さで, P , Q は反時計回りに, R は時計回りに, 時刻 \(t = 2\pi\) まで動く. P , Q , R の速さは, それぞれ \(m , 1 , 2\) であるとする. （したがって, Q は \(C\) をちょうど一周する. ） ただし, \(m\) は \(1 \leqq m \leqq 10\) をみたす整数である. \(\triangle \text{PQR}\) が PR を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ \(m\) と時刻 \(t\) の組をすべて求めよ.

四面体 OABC において, \(4\) つの面はすべて合同であり, \(\text{OA} = 3\) , \(\text{OB} = \sqrt{7}\) , \(\text{OC} = 2\) であるとする. また \(3\) 点 O , A , B を含む平面を \(L\) とする.

1. (1)　点 C から平面 \(L\) におろした垂線の足を H とおく. \(\overrightarrow{\text{OH}}\) を \(\overrightarrow{\text{OA}}\) と \(\overrightarrow{\text{OB}}\) を用いて表せ.

2. (2)　\(0 \lt t \lt 1\) をみたす実数 \(t\) に対して, 線分 OA , OB の各々を \(t : (1-t)\) に内分する点をそれぞれ \(\text{P} {} _ t , \text{Q} {} _ t\) を通り, 平面 \(L\) に垂直な平面を \(M\) とするとき, 平面 \(M\) による四面体 OABC の切り口の面積 \(S(t)\) を求めよ.

3. (3)　\(t\) が \(0 \lt t \lt 1\) の範囲を動くとき, \(S(t)\) の最大値を求めよ.

座標平面において, 点 P \(( 0 , 1 )\) を中心とする半径 \(1\) の円を \(C\) とする. 　\(a\) を \(0 \lt a \lt 1\) を満たす実数とし, 直線 \(y = a( x+1 )\) と \(C\) との交点を Q , R とする.

1. (1)　\(\triangle \text{PQR}\) の面積 \(S(a)\) を求めよ.

2. (2)　\(a\) が \(0 \lt a \lt 1\) の範囲を動くとき, \(S(a)\) が最大となる \(a\) を求めよ.

実数 \(x\) の小数部分を, \(0 \leqq y \lt 1\) かつ \(x-y\) が整数となる実数 \(y\) のこととし, 　これを記号 \(\langle x \rangle\) で表す. 　実数 \(a\) に対して, 無限数列 \(\{ a _ n \}\) の各項 \(a _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) を次のように順次定める.

1. (i)　\(a _ 1 = \langle a \rangle\)

2. (ii)　\(\left\{ \begin{array}{ll} a _ {n+1} = \left\langle \dfrac{1}{a _ n} \right\rangle & \left( \ a _ n \neq 0 \ \text{のとき} \ \right) \\ \ a _ {n+1} = 0 & \left( \ a _ n = 0 \ \text{のとき} \ \right) \end{array} \right.\)

1. (1)　\(a = \sqrt{2}\) のとき, 数列 \(\{ a _ n \}\) を求めよ.

2. (2)　任意の自然数 \(n\) に対して \(a _ n = a\) となるような \(\dfrac{1}{3}\) 以上の実数 \(a\) をすべて求めよ.

3. (3)　\(a\) が有理数であるとする. \(a\) を整数 \(p\) と自然数 \(q\) を用いて \(a = \dfrac{p}{q}\) と表すとき, \(q\) 以上のすべての自然数 \(n\) に対して, \(a _ n = 0\) であることを示せ.

\(L\) を正定数とする. 座標平面の \(x\) 軸上の正の部分にある点 P \(( t , 0 )\) に対し, 原点 O を中心とし点 P を通る円周上を, P から出発して反時計回りに道のり \(L\) だけ進んだ点を Q \(\left( u(t) , v(t) \right)\) と表す.

1. (1)　\(u(t)\) , \(v(t)\) を求めよ.

2. (2)　\(0 \lt a \lt 1\) の範囲の実数 \(a\) に対し, 積分 \[ f(a) = \displaystyle\int _ a^1 \sqrt{\{ u'(t) \}^2 +\{ v'(t) \}^2} \, dt \] を求めよ.

3. (3)　極限 \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow +0} \dfrac{f(a)}{\log a}\) を求めよ.