関数 \(f(x) = b +\dfrac{1}{b} -e^{ax} -e^{-ax}\) について, 以下の問いに答えよ. ただし, \(a \gt 0\) , \(b \gt 1\) とする.
(1) \(f(x) \geqq 0\) を満たす \(x\) の範囲を求めよ.
(2) 曲線 \(y = \sqrt{f(x)}\) と \(x\) 軸で囲まれた図形を \(x\) 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積 \(V\) を求めよ.
(3) \(a = b \log b\) のとき, (2) で求めた体積 \(V\) を \(V(b)\) で表す. このとき, \(\displaystyle\lim _ {b \rightarrow \infty} V(b) = 2 \pi\) となることを示せ.
(1) \(\displaystyle\int _ 0^\pi x^2 \cos^2 x \, dx\) を求めよ.
(2) 定数 \(a\) に対して, \[ f(x) = ax \sin x +x +\dfrac{\pi}{2} \] とおく. このとき, 不等式 \[ \displaystyle\int _ 0^\pi \left\{ f'(x) \right\}^2 \, dx \geqq f \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \] を満たす \(a\) の範囲を求めよ. ただし, \(f'(x)\) は \(f(x)\) の導関数とする.
(1) 一般項 \(a _ n\) が \(an^3 +bn^2 +cn\) で表される数列 \(\{ a _ n \}\) において, \[ n^2 = a _ {n+1} -a _ n \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] が成り立つように, 定数 \(a , b , c\) を定めよ.
(2) (1) の結果を用いて, \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n k^2 = \dfrac{1}{6} n(n+1)(2n+1)\) となることを示せ.
(3) \(1, 2, 3, \cdots , n\) の相異なる \(2\) 数の積のすべての和を \(S(n)\) とする. たとえば, \(S(3) = 1 \times 2 +1 \times 3 +2 \times 3 = 11\) である. \(S(n)\) を \(n\) の \(4\) 次式で表せ.
\(a \neq 0\) とする. \(A = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)\) , \(B = \left( \begin{array}{c} a \\ b \end{array} \right)\) に対して, \(2\) 次の正方行列 \(P\) が \[ PA = A+B , \ PB = A-B \] を満たしている.
(1) \(a\) と \(b\) を用いて \(P\) を表し, \(P\) が逆行列 \(P^{-1}\) をもつことを示せ.
(2) \(\left( \begin{array}{c} s \\ t \end{array} \right) = P^{-1} B\) とおく. \(xy\) 平面において, 点 \((a,b)\) が放物線 \(x = y^2+2\) 上を動くとき, 点 \((s,t)\) の軌跡を求めよ. ただし, \(|y| \leqq 1\) とする.
\(xy\) 平面上で, \(2\) 次曲線 \(C : \ x^2+ay^2+by = 0\) が直線 \(L : \ y = 2x-1\) に点 P で接している. ただし, \(a \neq -\dfrac{1}{4}\) とする.
(1) \(a\) と \(b\) の関係式を求めよ.
(2) \(C\) が楕円, 放物線, 双曲線となるそれぞれの場合に, \(b\) の値の範囲を求めよ.
(3) \(C\) が楕円とする場合の接点Pの存在範囲を求め, \(xy\) 平面上に図示せよ.
\(f(x) = \dfrac{1}{3} x^3 -\dfrac{1}{2} ax^2\) とおく. ただし \(a \gt 0\) とする.
(1) \(f(-1) \leqq f(3)\) となる \(a\) の範囲を求めよ.
(2) \(f(x)\) の極小値は \(f(-1)\) 以下となる \(a\) の範囲を求めよ.
(3) \(-1 \leqq x \leqq 3\) における \(f(x)\) の最小値を \(a\) を用いて表せ.
\(3\) つの曲線 \[\begin{align} C _ 1 : \ y & = \sin x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \\ C _ 2 : \ y & = \cos x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \\ C _ 3 : \ y & = \tan x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \end{align}\] について以下の問いに答えよ.
(1) \(C _ 1\) と \(C _ 2\) の交点, \(C _ 2\) と \(C _ 3\) の交点, \(C _ 3\) と \(C _ 1\) の交点のそれぞれについて \(y\) 座標を求めよ.
(2) \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) によって囲まれる図形の面積を求めよ.
\(n\) を自然数とし, \(1\) から \(n\) までの自然数の積を \(n !\) で表す. このとき以下の問いに答えよ.
(1) 単調に増加する連続関数 \(f(x)\) に対して, 不等式 \(\displaystyle\int _ {k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)\) を示せ.
(2) 不等式 \(\displaystyle\int _ 1^n \log x \, dx \leqq \log n !\) を示し, 不等式 \(n^n e^{1-n} \leqq n !\) を導け.
(3) \(x \geqq 0\) に対して, 不等式 \(x^n e^{1-n} \leqq n !\) を示せ.