立方体の面を \(3\) 色を用いて \(2\) つずつ同じ色に塗る. 次の問に答えよ.

1. (1)　向かい合う \(2\) 面が, どの組についても同じ色で塗られる確率を求めよ.

2. (2)　向かい合う \(2\) 面が, どの組についても同じ色にならない確率を求めよ.

3. (3)　向かい合う \(2\) 面の組のうち, \(2\) 面の色が同じになる組の個数の期待値を求めよ.

関数 \(f(x)\) を次の積分で定義する. \[ f(x) = \displaystyle\int _ x^{x +\log 2} \left| e^{2t} -e^t -2 \right| \, dt \] 次の問に答えよ.

1. (1)　\(g(t) = e^{2t} -e^t -2\) のグラフを描け.

2. (2)　\(f(x)\) を求めよ.

3. (3)　\(f(x)\) が極値をとる \(x\) を求めよ.

O を原点とする座標平面上に \[ \text{放物線} \ C _ 1 : \ y = x^2 , \ \text{円} \ C _ 2 : \ x^2 +(y-a)^2 = 1 \quad ( a \geqq 0 ) \] がある. \(C _ 2\) の点 \(( 0 , a+1 )\) における接線と \(C _ 1\) が \(2\) 点 A , B で交わり, △OAB が \(C _ 2\) に外接しているとする. 次の問に答えよ.

1. (1)　\(a\) を求めよ.

2. (2)　点 \(( s , t )\) を \(( -1 , a ) , ( 1 , a ) , ( 0 , a-1 )\) と異なる \(C _ 2\) 上の点とする. そして点 \(( s , t )\) における \(C _ 2\) の接線と \(C _ 1\) との \(2\) つの交点を P \(( \alpha , {\alpha}^2 )\) , Q \(( \beta , {\beta}^2 )\) とする. このとき, \(( \alpha -\beta )^2 -{\alpha}^2 {\beta}^2\) は \(s, t\) によらない定数であることを示せ.

3. (3)　(2) において, 点 P \(( \alpha , {\alpha}^2 )\) から \(C _ 2\) への \(2\) つの接線が再び \(C _ 1\) と交わる点を Q \(( \beta , {\beta}^2 )\) , R \(( \gamma , {\gamma}^2 )\) とする. \(\beta +\gamma\) および \(\beta \gamma\) を \(\alpha\) を用いて表せ.

4. (4)　(3) の \(2\) 点 Q, R に対し, 直線 QR は \(C _ 2\) と接することを示せ.

放物線 \(C : \ y^2 = 4px \ (p \gt 0 )\) の焦点 F \(( p , 0 )\) を通る \(2\) 直線 \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) は互いに直交し, \(C\) と \(\ell _ 1\) は \(2\) 点 \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2\) で, \(C\) と \(\ell _ 2\) は \(2\) 点 \(\text{Q} _ 1 , \text{Q} _ 2\) で交わるとする. 次の問に答えよ.

1. (1)　\(\ell _ 1\) の方程式を \(x = ay+p\) と置き, \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2\) の座標をそれぞれ \(( x _ 1 , y _ 1 ) , \ ( x _ 2 , y _ 2 )\) とする. \(y _ 1 +y _ 2 , \ y _ 1 y _ 2\) を \(a\) と \(p\) で表せ.

2. (2)　\(\dfrac{1}{\text{P} _ 1 \text{P} _ 2} +\dfrac{1}{\text{Q} _ 1 \text{Q} _ 2}\) は \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) のとり方によらず一定であることを示せ.

複素数 \(z = 1+2 \sqrt{6} i\) と自然数 \(n = 1, 2, 3, \cdots\) について, 複素数 \(z^n\) を実数 \(a _ n , b _ n\) を用いて \[ z^n = a _ n +b _ n i \] と表す. 次の問に答えよ.

1. (1)　\({a _ n}^2 +{b _ n}^2 = 5^{2n} \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) であることを示せ.

2. (2)　すべての \(n\) について \(a _ {n+2} = pa _ {n+1} +qa _ {n}\) が成り立つ定数 \(p , q\) を求めよ.

3. (3)　どんな \(n\) についても \(a _ n\) は \(5\) の整数倍ではないことを示せ.

4. (4)　\(z^n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) は実数でないことを示せ.

\(f(x) = \dfrac{1}{2} e^{2x} +2e^{x} +x\) とする. 次の問に答えよ.

1. (1)　実数 \(t\) に対して \(g(x) = tx -f(x)\) とおく. \(x\) が実数全体を動くとき, \(g(x)\) が最大値をもつような \(t\) の範囲を求めよ. また \(t\) がその範囲にあるとき, \(g(x)\) の最大値とそのときの \(x\) の値を求めよ.

2. (2)　(1) で求めた最大値を \(m(t)\) とする. \(a\) を定数とし, \(t\) の関数 \(h(t) = at -m(t)\) を考える. \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(h(t)\) の最大値を求めよ.

半径 \(1\) の半円を底面とし, 高さが \(1\) の半円柱に含まれる立体 \(R\) がある. その高さ \(x \ ( 0 \leqq x \leqq 1 )\) での断面が, 次の図のように \(2\) つの直角三角形を合わせた形になっている. 次の問に答えよ.

1. (1)　高さ \(x\) での \(R\) の断面積 \(S(x)\) を求めよ.

2. (2)　\(R\) の体積を求めよ. 必要ならば, 積分する際に \(x = \sin t\) と置き換えよ.

空間内に平面 \(P\) がある. 空間内の図形 \(A\) に対し, \(A\) の各点から \(P\) に下ろした垂線と \(P\) との交点の全体を, \(A\) の \(P\) への正射影とよぶ. 次の問に答えよ.

1. (1)　平面 \(Q\) が平面 \(P\) と角 \(\theta \ ( 0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2} )\) で交わっているとする. すなわち, \(P\) と \(Q\) の交線に垂直な平面で \(P , Q\) を切ってできる \(2\) 直線のなす角が \(\theta\) であるとする. \(Q\) 上の長さ \(1\) の線分の \(P\) への正射影の長さの最大値と最小値を求めよ.

2. (2)　(1) の \(Q\) を考える. \(Q\) 上の \(1\) 辺の長さが \(1\) である正三角形の \(P\) への正射影の面積を求めよ.

3. (3)　\(1\) 辺の長さが \(1\) である正四面体 \(T\) の \(P\) への正射影 \(T'\) はどんな形か. また, \(T'\) の面積の最大値を求めよ.