複素数 \(\alpha , \beta \ ( \alpha , \beta \neq 0 )\) に対して, \(p _ 1 = 3\) を初項とする数列 \(\{ p _ n \}\) を \[ p _ n = 1 +\alpha^{n-1} +\beta^{n-1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. 以下の問に答えよ.
(1) \(p _ 2 \neq 0\) , \(p _ 4 \neq 0\) のどちらかが成立することを示せ.
(2) 数列 \(\{ p _ n \}\) がさらに次の条件をみたすとする.
(＊) 隣接する \(2\) 項の積はすべて \(0\) となる. すなわち \[ p _ n p _ {n+1} = 0 \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \]
定数 \(c\) に対して行列 \(A\) を \[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & c \\ 4 & -1 \end{array} \right) \] で定め, 直線 \(y = x+1\) 上の動点 P \(( t-1 , t )\) を \(A\) によって移動した点を Q とする. すなわち, \[ A \left( \begin{array}{c} t-1 \\ t \end{array} \right) \] に対応する点を Q とする. 定点 R とすべての \(t\) の値に対して, △PQR は P を直角の頂点とする直角三角形になるという. 以下の問に答えよ.
(1) 定点 R の座標および定数 \(c\) の値を求めよ.
(2) 三角形 PQR の外接円の面積の最小値と, そのときの \(t\) の値を求めよ.
曲線 \(y = e^{-x}\) と \(y = e^{-x} \left| \cos x \right|\) で囲まれた図形のうち, \((n-1) \pi \leqq x \leqq n \pi\) をみたす部分の面積を \(a _ n\) とする（ \(n = 1, 2, 3, \cdots\) ）. 以下の問に答えよ.
(1) \(\displaystyle\int e^{-x} \cos x \, dx = e^{-x} \left( p \sin x +q \cos x \right) +C\) をみたす定数 \(p , q\) を求めよ. ただし, \(C\) は積分定数である.
(2) \(a _ 1\) の値を求めよ.
(3) \(a _ n\) の値を求めよ.
(4) \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( a _ 1 +a _ 2 + \cdots + a _ n \right)\) を求めよ.
\(n\) を正の整数とするとき, 以下の問に答えよ.
(1) \(k\) を正の整数とする. 関数 \((1-x)^n x^k\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値を \(a _ n\) とする. \(a _ n\) および \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を求めよ.
(2) \(f(x) , g(x)\) を \(0 \leqq x \leqq 1\) において定められた連続関数とする. 関数 \((1-x)^n f(x)\) , \((1-x)^n g(x)\) , \((1-x)^n \left\{ f(x) +g(x) \right\}\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値をそれぞれ \(b _ n , c _ n , d _ n\) とする. このとき, \(0 , b _ n +c _ n , d _ n\) の大小を \[ \square \leqq \square \leqq \square \] の形式で答え, その理由を述べよ.
(3) \(p , q , r \geqq 0\) を定数, \(f(x) = px^2+qx+r\) とし, 関数 \((1-x)^n f(x)\) の \(0\leq x \leqq 1\) における最大値を \(e _ n\) とする. \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} e _ n\) を求めよ.
\(xy\) 平面において, 点 \(( 5 \sqrt{3} , 0 )\) を中心とする半径 \(5\) の円を C, 点 \(( -4 \sqrt{3} , 0 )\) を中心とする半径 \(4\) の円を D とする. C , D の共通接線のうち, C , D が異なる側にあり傾きが正であるものを \(\ell\) , 傾きが負であるものを \({\ell}'\) とし, C , D が同じ側にあり傾きが正であるものを \(m\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) 直線 \(\ell\) の方程式を求めよ.
(2) 直線 \(m\) の方程式を求めよ.
(3) 三直線 \(\ell , {\ell}' , m\) のすべてに接し C , D と異なる円を E , E' とする. 二円 E , E' の中心の \(x\) 座標を求めよ.
(4) (3) の円 E , E' の半径を求めよ.
以下の問に答えよ.
(1) 複素数 \(\alpha , \beta\) に対して \(\alpha \beta = 0\) ならば, \(\alpha =0\) または \(\beta =0\) であることを示せ.
(2) 複素数 \(\alpha\) に対して \(\alpha^2\) が正の実数ならば, \(\alpha\) は実数であることを示せ.
(3) 複素数 \(\alpha _ 1 , \alpha _ 2 , \cdots , \alpha _ {2n+1}\) （ \(n\) は自然数）に対して, \(\alpha _ 1 \alpha _ 2 , \alpha _ 2 \alpha _ 3 , \cdots , \alpha _ {2n} \alpha _ {2n+1}\) および \(\alpha _ {2n+1} \alpha _ 1\) がすべて正の実数であるとする. このとき, \(\alpha _ 1 , \alpha _ 2 , \cdots , \alpha _ {2n+1}\) はすべて実数であることを示せ.
初項を \(a _ 0 \geqq 0\) とし, 以下の漸化式で定まる数列 \(\{ a _ n \} _ {n=0, 1, \cdots}\) を考える. \[ a _ {n+1} = a _ n -\left[ \sqrt{a _ n} \right] \quad ( n \geqq 0 ) \] ただし \([ x ]\) は \(x\) を超えない最大の整数を表す. つぎの問に答えよ.
(1) \(a _ 0 =24\) とする. このとき, \(a _ n = 0\) となる最小の \(n\) を求めよ.
(2) \(m\) を \(2\) 以上の整数とし, \(a _ 0 = m^2\) とする. このとき, \(1 \leqq j \leqq m\) をみたす \(j\) に対して \(a _ {2j-1} , a _ {2j}\) を \(j\) と \(m\) で表せ.
(3) \(m\) を \(2\) 以上の整数, \(p\) を \(1 \leqq p \leqq m-1\) をみたす整数とし, \(a _ 0 = m^2-p\) とする. このとき, \(a _ k = (m-p)^2\) となる \(k\) を求めよ. さらに, \(a _ n= 0\) となる最小の \(n\) を求めよ.
表が出る確率 \(a \ \left( 0 \lt a \lt \dfrac{1}{2} \right)\) , 裏が出る確率が \(1-a\) のコインを \(1\) 枚投げる試行を \(n\) 回行う. ただし \(n \geqq 2\) とする. この \(n\) 回の試行の結果, 表が \(2\) 回以上出る事象を \(A _ n\) で表す. また \(1\) 回目から \(n\) 回目の試行が終わるまでに, 「裏→表」の順で出ない事象を \(B _ n\) で表す. つぎの問に答えよ.
(1) 確率 \(P( A _ n ) , \ P( B _ n )\) を求めよ.
(2) 確率 \(P( A _ n \cap B _ n )\) を求めよ.
(3) 極限 \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{P( A _ n ) P( B _ n )}{P( A _ n \cap B _ n )} \] を求めよ. ただし, \(0 \lt r \lt 1\) をみたす \(r\) に対して, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} nr^n =0\) となることを証明なしに用いてもよい.