関数 \[ f(x) = \log \left( 1+\sqrt{1-x^2} \right) -\sqrt{1-x^2} -\log x \quad ( 0 \lt x \lt 1 ) \] について, つぎの問に答えよ.
(1) \(f'(x)\) を求めよ.
(2) \(y = f(x)\) のグラフの概形を描け.
(3) 曲線 \(y = f(x)\) 上を動く点を P とする. 点 Q は, 曲線 \(y = f(x)\) の P における接線上にあり, P との距離が \(1\) で, その \(x\) 座標が P の \(x\) 座標より小さいものとする. Q の軌跡を求めよ.
\(xy\) 平面上に \(2\) 点 A \((-1,0)\) , B \((1,0)\) をとる. \(\dfrac{\pi}{4} \leqq \angle \text{APB} \leqq \pi\) をみたす平面上の点 P の全体と点 A , B からなる図形を \(F\) とする. つぎの問に答えよ.
(1) \(F\) を図示せよ.
(2) \(F\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転して得られる立体の体積を求めよ.
\(a\) を正の定数とする. \(xy\) 座標平面において, 曲線 \(\sqrt{x} +\sqrt{y} = \sqrt{a}\) と, 直線 \(x+y=a\) とで囲まれた部分を D とおく. 以下の問に答えよ.
(1) D の概形を描き, その面積を求めよ.
(2) 直線 \(x+y=a\) を軸として, D を \(1\) 回転してできる図形の体積を求めよ.
自然数 \(m , n\) に対して \(f(m,n)\) を \[ f(m,n) = \dfrac{1}{2} \{ (m+n-1)^2 +(m-n+1) \} \] で定める. 以下の問に答えよ.
(1) \(f(m,n) =100\) をみたす \(m\) , \(n\) を \(1\) 組求めよ.
(2) \(a , b , c , d\) は整数で, 等式 \(a^2+b = c^2+d\) をみたすとする. 不等式 \(-a \lt b \leqq a , \ -c \lt d \leqq c\) が成り立つならば, \(a = c , \ b = d\) となることを示せ.
(3) 任意の自然数 \(k\) に対し, \(f(m,n) =k\) をみたす \(m , n\) がただ \(1\) 組だけ存在することを示せ.
\(f(x)\) はすべての実数 \(x\) において微分可能な関数で, 関係式 \[ f(2x) = ( e^x+1 ) f(x) \] をみたしているとする. 以下の問に答えよ.
(1) \(f(0) =0\) を示せ.
(2) \(x \neq 0\) に対して \[ \dfrac{f(x)}{e^x-1} = \dfrac{f \left( \frac{x}{2} \right)}{e^{\frac{x}{2}}-1} \] が成り立つことを示せ.
(3) 微分の定義を用いて, \(f'(0) = \displaystyle\lim _ {h \rightarrow 0} \dfrac{f(h)}{e^h-1}\) を示せ.
(4) \(f(x) = (e^x-1) f'(0)\) が成り立つことを示せ.
\(n\) 個の球と \(n\) 個の箱がある. 各球を無作為にどれかの箱に入れる. すなわち各球を独立に確率 \(\dfrac{1}{n}\) でどれか \(1\) つの箱に入れるものとする. \(n \geqq 3\) のとき, \(2\) 箱のみが空になる確率を \(p _ n\) とする. 以下の問に答えよ.
(1) \(p _ 3 , p _ 4\) を求めよ.
(2) \(n \geqq 4\) とする. \(2\) 箱のみが空で, \(1\) 箱に \(3\) 個の球が入り, その他の \((n-3)\) 個のそれぞれに \(1\) 個の球が入る確率 \(q _ n\) を求めよ.
(3) \(n \geqq 5\) に対し, \(p _ n\) を求めよ.
(4) (2) で求めた \(q _ n\) について, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{q _ n}{p _ n}\) を求めよ.
\(xyz\) 座標空間において, 原点を中心とする半径 \(1\) の球面 S 上に点 N \((0,0,1)\) をとる. また \(0 \lt \theta \lt \pi\) をみたす \(\theta\) に対し, 次の \(2\) つの条件
(a) \(\text{NP} = \text{NQ}\)
(b) \(\angle \text{PNQ} = \theta\)
をみたす S 上の動点 P , Q について, 線分 PQ が通過してできる立体図形 T を考える. 以下の問に答えよ.
(1) 点 P と点 Q の \(z\) 座標は等しいことを示せ.
(2) 点 P が平面 \(z=h\) 上にあるとき, 線分 PQ の長さを \(\theta\) と \(h\) で表せ.
(3) T を平面 \(z=h\) で切ったときの断面の概形を描き, その面積を \(\theta\) と \(h\) で表せ.
(4) \(h\) のとりうる値の範囲に注意して, T の体積 \(V\) を \(\theta\) で表し, \(\theta\) を動かしたときの \(V\) の最大値を求めよ.
実数 \(x\) に対して, \(x\) 以下の最大の整数を \([x]\) で表す. 以下の問に答えよ.
(1) \(\dfrac{14}{3} \lt x \lt 5\) のとき, \(\left[ \dfrac{3}{7}x \right] -\left[ \dfrac{3}{7} [x] \right]\) を求めよ.
(2) すべての実数 \(x\) について, \(\left[ \dfrac{1}{2}x \right] -\left[ \dfrac{1}{2} [x] \right] =0\) を示せ.
(3) \(n\) を正の整数とする. 実数 \(x\) について, \(\left[ \dfrac{1}{n}x \right] -\left[ \dfrac{1}{n} [x] \right]\) を求めよ.