\(a \gt 0\) に対し, 行列 \(A\) を \[ A = \left( \begin{array}{cc} a & 1 \\ -1 & a \end{array} \right) \] で定める. \(xy\) 平面上の直線 \(y=1\) を \(l _ 1\) とする. \(l _ 1\) の各点を行列 \(A\) で表される \(1\) 次変換で移してできる直線を \(l _ 2\) とし, \(l _ 1\) の各点を \(A\) の逆行列 \(A^{-1}\) で表される \(1\) 次変換で移してできる直線を \(l _ 3\) とする. また, \(l _ 1\) と \(l _ 2\) の交点を P, \(l _ 1\) と \(l _ 3\) の交点を Q, \(l _ 2\) と \(l _ 3\) の交点を R とし, △PQR の面積を \(S(a)\) とする. 以下の問に答えよ.

1. (1)　直線 \(l _ 2\) と直線 \(l _ 3\) の方程式を求めよ.

2. (2)　\(3\) 点 P , Q , R の座標を求めよ.

3. (3)　\(S(a)\) を求めよ.

4. (4)　\(S(a)\) を最小にする \(a\) を求めよ.

トランプのハートとスペードの \(1\) から \(10\) までのカードが \(1\) 枚ずつ総計 \(20\) 枚ある. \(i = 1, 2, \cdots , 10\) に対して, 番号 \(i\) のハートとスペードのカードの組を第 \(i\) 対とよぶことにする. \(20\) 枚のカードの中から \(4\) 枚のカードを無作為に取り出す. 取り出された \(4\) 枚のカードの中に第 \(i\) 対が含まれているという事象を \(A _ i\) で表すとき, 以下の問に答えよ.

1. (1)　事象 \(A _ 1\) が起こる確率 \(P(A _ 1)\) を求めよ.

2. (2)　確率 \(P( A _ 1 \cap A _ 2 )\) を求めよ.

3. (3)　確率 \(P( A _ 1 \cup A _ 2 \cup A _ 3 )\) を求めよ.

4. (4)　取り出された \(4\) 枚のカードの中に第 \(1\) 対, 第 \(2\) 対, 第 \(3\) 対, 第 \(4\) 対, 第 \(5\) 対, 第 \(6\) 対の中の少なくとも \(1\) つが含まれる確率を求めよ.

以下の問に答えよ.

1. (1)　半径 \(r\) の円に内接し, \(1\) つの対角線の長さが \(l\) であるような四角形の面積の最大値を \(r\) と \(l\) で表せ.

2. (2)　半径 \(r\) の円に内接する四角形の面積の最大値を求めよ.

3. (3)　空間内の点 O を頂点とし, 四角形 ABCD を底面とする四角錐（すい）が \(\text{OA} =\text{OB} =\text{OC} =\text{OD} =1\) を満たしているとする. そのような四角錘の体積の最大値を求めよ.

実数 \(p \gt 0\) に対して, \[ f(x) = e^{(p+1)x} -e^x \] とおく. 以下の問に答えよ.

1. (1)　\(f(x)\) が最小となる \(x\) の値 \(s _ p\) を求め, \(y = f(x)\) のグラフを描け.

2. (2)　 \[ g(t) = \displaystyle\int _ t^{t+1} f(x) e^{t-x} \, dx \] とおく. \(g(t)\) が最小となる \(t\) の値 \(t _ p\) を求めよ.

3. (3)　\(0 \lt p \leqq 1\) のとき, \[ 1+\dfrac{p}{2} \leqq \dfrac{e^p-1}{p} \leqq 1+\dfrac{p}{2}+p^2 \] が成立することを用いて, 右側からの極限 \(\displaystyle\lim _ {p \rightarrow +0} (t _ p -s _ p)\) を求めよ.

\(xy\) 平面上の \(2\) 点 A \((-1, 4)\) , B \((2, 5)\) を通り, 直線 \(y = \dfrac{1}{2}x\) と共有点をもつ円を考える. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　この円の中心 P の軌跡を求めよ.

2. (2)　この円の半径 \(r\) の最小値を求めよ.

\(xy\) 平面上の点 \(( x _ 1 , y _ 1 )\) に対して, 点 \(( x _ 2 , y _ 2 ) , ( x _ 3 , y _ 3 ) , \cdots\) を次の式で順に定める. \[ \left( \begin{array}{c} x _ {n+1} \\ y _ {n+1} \end{array} \right) = \left\{ \begin{array}{ll} \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) & ( \ y _ n \geqq 0 \text{のとき} ) \\ \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x _ n \\ y _ n \end{array} \right) & ( \ y _ n \lt 0 \text{のとき} ) \end{array} \right. \] 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(( x _ 1 , y _ 1 ) = ( -1 , 2 )\) のとき, \(( x _ 3 , y _ 3 )\) を求めよ.

2. (2)　\(( x _ 1 , y _ 1 ) = ( 1 , 0 )\) のとき, \(( x _ 5 , y _ 5 )\) を求めよ.

3. (3)　\(x _ 1 \gt 0\) かつ \(y _ 1 \gt 0\) のとき, \(( x _ 4 , y _ 4 ) = ( x _ 1 , y _ 1 )\) となることを示せ.

4. (4)　\(( x _ n , y _ n ) = ( x _ 1 , y _ 1 )\) となる \(2\) 以上の整数 \(n\) が存在しないとき, 点 \(( x _ 1 , y _ 1 )\) はどのような範囲にあるかを図示せよ.

\(a , b\) を実数とし, \(xy\) 平面上の次の \(2\) つの関数のグラフについて考える. \[\begin{align} y & = e^{|x|} \quad ... [1] \\ y & = ax + b \quad ... [2] \end{align}\] 以下の問いに答えよ.

1. (1)　[1] , [2] がただ \(1\) つの共有点をもつとき, \(b\) を \(a\) で表し, そのグラフを \(ab\) 平面上に図示せよ.

2. (2)　(1) のグラフを \(b = f(a)\) と表す. 定数 \(p\) に対して, \[ pa + f(a) \] を最大にする \(a\) およびその最大値を求めよ.

\(xyz\) 空間において, \(2\) 点 P \((1, 0, 1)\) , Q \((-1, 1, 0)\) を考える. 線分 PQ を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転して得られる曲面を \(S\) とする. 以下の問に答えよ.

1. (1)　曲面 \(S\) と, \(2\) つの平面 \(x = 1\) および \(x = -1\) で囲まれる立体の体積を求めよ.

2. (2)　(1) の立体の平面 \(y = 0\) による切り口を, 平面 \(y = 0\) において図示せよ.

3. (3)　定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 \sqrt{t^2+1} \, dt\) の値を \(t = \dfrac{e^s -e^{-s}}{2}\) と置換することによって求めよ. これを用いて, (2) の切り口の面積を求めよ.