原点を O とする \(xy\) 平面上に, \(2\) 直線 \[\begin{align} \ell _ 1 & : \ y =mx \\ \ell _ 2 & : \ y = -mx \end{align}\] がある. ただし, \(m \gt 1\) とする. \(\ell _ 1\) 上に点 P \(( s, ms )\) , \(\ell _ 2\) 上に点 Q \(( t, -mt )\) を \(s \neq 0 , \ t \neq 0\) となるようにとる. P を通り \(\ell _ 1\) に垂直な直線と, Q を通り \(\ell _ 2\) に垂直な直線の交点を R とする. 次の問いに答えよ.
(1) R の座標を求めよ.
(2) PQ と OR が平行となるように, P , Q を動かすとき, R の軌跡を求めよ.
連立不等式 \[ \left\{\begin{array}{l} x^2 +\left( y -\dfrac{1}{2} \right)^2 \leqq 1 \\ y \geqq 0 \end{array}\right. \] の表す図形を \(x\) 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ.
数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を \[ a _ 1 = \dfrac{1}{2} , \ a _ {n+1} =1-{a _ n}^2 \quad ( n =1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. 次の問いに答えよ.
(1) \(0 \lt a _ {2n-1} \leqq \dfrac{1}{2}\) , \(\dfrac{3}{4} \leqq a _ {2n} \lt 1\) （ \(n =1, 2, 3, \cdots\) ）であることを示せ.
(2) \(x\) が \(0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}\) の範囲を動くとき, 関数 \(f(x) = 2x -x^3\) のとる値の範囲を求める.
(3) \(\dfrac{2 _ {2n+1}}{a _ {2n-1}} \leqq \dfrac{7}{8}\) （ \(n =1, 2, 3, \cdots\) ）であることを示せ.
次の問いに答えよ.
(1) 定積分 \[ \displaystyle\int _ {1}^{e} x^{\frac{1}{n}} \log x \, dx \quad ( n =1, 2, 3, \cdots ) \] を求めよ.
(2) 極限 \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n \left( \displaystyle\int _ {1}^{e} x^{\frac{1}{n}} \log x \, dx -1 \right) \] を求めよ.
\(xy\) 平面上に曲線 \(C : \ y = x^2\) がある. \(C\) 上の点 P \(( t , t^2 )\) を次の条件 (＊) をみたすようにとる.
\(\text{Q} \ ( \alpha , \alpha^2 ) , \ \text{R} \ ( \beta , \beta^2 ) \quad ( \alpha \lt \beta )\) とするとき, 次の問いに答えよ.
(1) \(t\) の取り得る値の範囲を求めよ.
(2) \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, 線分 QR の中点 M が描く軌跡の方程式を求めよ.
(3) \(\beta\) を \(t\) の式で表し, 極限 \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} t \beta\) を求めよ.
赤, 青, 黄の \(3\) 色を用いて, 横一列に並んだ \(n\) 個のマスを, 隣り合うマスは異なる色になるように塗り分ける. ただし, 使わない色があってもよい. 両端のマスが同じ色になる場合の数を \(a _ n\) とし, 両端のマスが異なる色になる場合の数を \(b _ n\) とする. 次の問いに答えよ.
(1) \(a _ 3 , b _ 3 , a _ 4 , b _ 4\) を求めよ.
(2) \(a _ n , b _ n \ ( n \geqq 3 )\) を \(n\) の式で表せ.
\(xy\) 平面上に円 \(C : \ x^2+y^2 = 1\) がある. \(C\) の外部の点 P \(( s, t ) \ (s \neq \pm 1 )\) から \(C\) へ引いた \(2\) つの接線と直線 \(x = 1\) との交点を Q , R とする. 次の問いに答えよ.
(1) 線分 QR の長さを \(s\) , \(t\) を用いて表せ.
(2) QR の長さが \(1\) であるように P が動くとき, P の軌跡を求め, 図示せよ.
平面上に \(3\) 点 O , A , B があり, \(\text{OA} = a , \ \text{OB} = b \ ( 0 \lt a \lt b )\) で, \(\overrightarrow{\text{OA}}\) と \(\overrightarrow{\text{OB}}\) のなす角 \(\theta\) は \(0 \lt \theta \leqq \dfrac{\pi}{2}\) をみたす. 点 C を \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{\text{OA}} +\overrightarrow{\text{OB}}\) で定める. また, O から引いた半直線 OA 上に, 点 P を \(\text{OA} \lt \text{OP}\) となるようにとる. 直線 PC と直線 OB の交点を Q とする. \(\text{AP} = x\) , \(\text{PQ}^2 = f(x)\) とするとき, 次の問いに答えよ.
(1) \(f(x)\) を \(x\) と \(a , b , \theta\) を用いて表せ.
(2) 第 \(2\) 次導関数 \(f''(x)\) は, \(x \gt 0\) のとき \(f''(x) \gt 0\) をみたすことを示せ.
(3) \(a = 1\) , \(b = \sqrt{6}\) , \(\cos \theta = \dfrac{1}{\sqrt{6}}\) のとき, PQ の長さの最小値を求めよ.