1. (1)　\(f(x)\) を連続関数とするとき, \[ \displaystyle\int _ 0^\pi x f \left( \sin x \right) dx = \dfrac{\pi}{2} \displaystyle\int _ 0^\pi f \left( \sin x \right) dx \] が成り立つことを示せ.

2. (2)　定積分 \[ \displaystyle\int _ 0^\pi \dfrac{x \sin^3 x}{\sin^2 x +8} \, dx \] の値を求めよ.

\(1\) 個のいびつなさいころがある. \(1, 2, 3, 4\) の目が出る確率はそれぞれ \(\dfrac{p}{2}\) であり, \(5, 6\) の目が出る確率はそれぞれ \(\dfrac{1-2p}{2}\) である. ただし, \(0 \lt p \lt \dfrac{1}{2}\) とする. このさいころを投げて, \(xy\) 平面上の点 Q を次のように動かす.

1. (i)　\(1\) または \(2\) の目が出たときには, Q を \(x\) 軸の正の方向に \(1\) だけ動かす.

2. (ii)　\(3\) または \(4\) の目が出たときには, Q を \(y\) 軸の正の方向に \(1\) だけ動かす.

3. (iii)　\(5\) または \(6\) の目が出たときには, Q を動かさない.

Q は最初原点 \(( 0 , 0 )\) にある. このさいころを \(( n+1 )\) 回投げ, Q が通った点（原点および Q の最終位置の点を含む）の集合を \(S\) とする. ただし, \(n\) は自然数とする. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(S\) が点 \(( 1 , n-1 )\) を含む確率を求めよ.

2. (2)　\(S\) が領域 \(x+y \lt n\) に含まれる確率を求めよ.

3. (3)　\(S\) が点 \(( k , n-k )\) を含むならば得点 \(2^k\) 点（ \(k = 0 , 1 , \cdots , n\) ）が与えられ, \(S\) が領域 \(x+y \lt n\) に含まれるならば得点 \(0\) 点が与えられるとする. 得点の期待値を求めよ.

次の問いに答えよ.

1. (1)　\(0 \lt x \lt \pi\) のとき, \[ \sin x -x \cos x \gt 0 \] を示せ.

2. (2)　定積分 \[ I = \displaystyle\int _ 0^\pi \left| \sin x - ax \right| \, dx \quad ( 0 \lt a \lt 1 ) \] を最小にする \(a\) の値を求めよ.

\(a , b\) を正の実数とする. 曲線 \[ C : \ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{( y-b )^2}{b^2} = 1 \] は領域 \(D : \ x^2+y^2 \leqq 1\) に含まれている. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(( a , b )\) が存在する範囲を \(ab\) 平面上に図示せよ.

2. (2)　\(C\) が囲む部分の面積が最大となるときの \(a , b\) の値を求めよ.

各項が正の実数である数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) が \(a _ 1 = 1\) と関係式 \[ a _ {n+1} - a _ n = \sqrt{n} \left( 1 + \dfrac{1}{a _ n + a _ {n+1}} \right) \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] をみたしている. 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(a _ n \geqq \sqrt{n} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を示せ.

2. (2)　\(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} \sqrt{k} \leqq \dfrac{2}{3} \left( n^{\frac{3}{2}} -1 \right) \quad ( n = 2, 3, 4, \cdots )\) を示せ.

3. (3)　\(a _ n \leqq \dfrac{2}{3} n^{\frac{3}{2}} + \dfrac{1}{2} n - \dfrac{1}{6} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を示せ.

\(3\) 次関数 \(f(x) = x^3-3x^2-4x+k\) について, 次の問いに答えよ. ただし, \(k\) は定数とする.

1. (1)　\(f(x)\) が極値をとるときの \(x\) を求めよ.

2. (2)　方程式 \(f(x)=0\) が異なる \(3\) つの整数解をもつとき, \(k\) の値およびその整数解を求めよ.

次の問いに答えよ.

1. (1)　\(0 \leqq x \leqq \pi\) において, \(\big| \cos x \big| = \sin x\) を満たす \(x\) を求め, \(0 \leqq x \leqq \pi\) において, \(\cos ( \cos x )\) , \(\cos ( \sin x )\) の大小を比較せよ.

2. (2)　\(\alpha \geqq 0\) , \(\beta \geqq 0\) , \(\alpha +\beta \lt \dfrac{\pi}{2}\) のとき, \(\cos \alpha \gt \sin \beta\) となることを示し, \(0 \leqq x \leqq \pi\) において, \(\cos ( \cos x ) \gt \sin ( \sin x )\) を示せ.

\(1\) 辺の長さが \(1\) の正四面体 OABC において, \(3\) 辺 OA , OB , AC 上にそれぞれ点 D , E , F を \(\text{OD} = \dfrac{1}{2}\) , \(\text{OE} = t \ ( 0 \lt t \lt 1 )\) , \(\text{AF} = \dfrac{2}{3}\) となるようにとる. \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とおくとき, 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(\overrightarrow{\text{DE}} , \overrightarrow{\text{DF}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c} , t\) を用いて表せ.

2. (2)　\(\overrightarrow{\text{DE}} \perp \overrightarrow{\text{DF}}\) のとき, \(t\) の値を求めよ.

3. (3)　\(3\) 点 D , E , F が定める平面が直線 BC と交わる点を G とするとき, 線分 BG の長さを \(t\) を用いて表せ.