サイコロを \(3\) 回投げて出た目の数を順に \(p _ 1 , p _ 2 \ p _ 3\) とし, \(x\) の \(2\) 次方程式 \[ 2 p _ 1 x^2 +p _ 2 x +2p _ 3 = 0 \quad ... \text{(＊)} \] を考える.
(1) 方程式 (＊) が実数解をもつ確率を求めよ.
(2) 方程式 (＊) が実数でない \(2\) つの複素数解 \(\alpha , \beta\) をもち, かつ \(\alpha \beta = 1\) が成り立つ確率を求めよ.
(3) 方程式 (＊) が実数でない \(2\) つの複素数解 \(\alpha , \beta\) をもち, かつ \(\alpha \beta \lt 1\) が成り立つ確率を求めよ.
\(a \gt 0\) を実数とする. \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, 座標平面の \(3\) 点 \[ ( 2n \pi , 0 ) , \ \left( \left( 2n +\dfrac{1}{2} \right) \pi , \dfrac{1}{\left\{ \left( 2n +\frac{1}{2} \right) \pi \right\}^a} \right) , \ \left( (2n+1) \pi , 0 \right) \] を頂点とする三角形の面積を \(A _ n\) とし, \[ B _ n = \displaystyle\int _ {2n \pi}^{(2n+1) \pi} \dfrac{\sin x}{x^a} \, dx , \ C _ n = \displaystyle\int _ {2n \pi}^{(2n+1) \pi} \dfrac{\sin^2 x}{x^a} \, dx \] とおく.
(1) \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \dfrac{2}{\left\{ (2n+1) \pi \right\}^a} \leqq B _ n \leqq \dfrac{2}{\left( 2n \pi \right)^a} \]
(2) 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{A _ n}{B _ n}\) を求めよ.
(3) 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{A _ n}{C _ n}\) を求めよ.
\(t \gt 0\) を実数とする. 座標平面において, \(3\) 点 A \(( -2 , 0 )\) , B \(( 2 , 0 )\) , C \(( t , \sqrt{3} t )\) を頂点とする三角形 ABP を考える.
(1) 三角形 ABP が鋭角三角形となるような \(t\) の範囲を求めよ.
(2) 三角形 ABP の垂心の座標を求めよ.
(3) 辺 AB , BP , PA の中点をそれぞれ M, Q, R とおく. \(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, 三角形 ABP を線分 MQ , QR , RM で折り曲げてできる四面体の体積の最大値と, そのときの \(t\) の値を求めよ. ,
\(k \geqq 2\) と \(n\) を自然数とする. \(n\) が \(k\) 個の連続する自然数の和であるとき, すなわち \[ n = m +(m+1) +\cdots +(m+k-1) \] が成り立つような自然数 \(m\) が存在するとき, \(n\) を \(k -\text{連続和}\) と呼ぶことにする. ただし, 自然数とは \(1\) 以上の整数のことである.
(1) \(n\) が \(k -\text{連続和}\) であることは, 次の条件 (A) , (B) の両方が成り立つことと同値であることを示せ.
(A) \(\dfrac{n}{k} -\dfrac{k}{2} +\dfrac{1}{2}\) は整数である.
(B) \(2n \gt k^2\) が成り立つ.
(2) \(f\) を自然数とする. \(n = 2^f\) のとき, \(n\) が \(k -\text{連続和}\) となるような自然数 \(k \geqq 2\) は存在しないことを示せ.
(3) \(f\) を自然数とする. \(p\) を \(2\) でない素数とする. \(n = p^f\) のとき, \(n\) が \(k -\text{連続和}\) となるような自然数 \(k \geqq 2\) の個数を求めよ.
次の問に答えよ.
(1) 関数 \(f(x) = x^{-2} 2^x \ ( x \neq 0 )\) について, \(f'(x) \gt 0\) となるための \(x\) に関する条件を求めよ.
(2) 方程式 \(2^x = x^2\) は相異なる \(3\) つの実数解をもつことを示せ.
(3) 方程式 \(2^x = x^2\) の解で有理数であるものをすべて求めよ.
次の問に答えよ.
(1) \(a = \sqrt{13} +\sqrt{9 +2 \sqrt{17}} +\sqrt{9 -2 \sqrt{17}}\) とするとき, 整数係数の \(4\) 次多項式 \(f(x)\) で \(f(a) = 0\) となるもののうち, \(x^4\) の係数が \(1\) であるものを求めよ.
(2) \(8\) つの実数 \[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9 +2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9 -2 \sqrt{17}} \] （ただし, 複号 \(\pm\) はすべての可能性にわたる）の中で, (1) で求めた \(f(x)\) に対して方程式 \(f(x) = 0\) の解となるものをすべて求め, それ以外のものが解でないことを示せ.
(3) (2) で求めた \(f(x) = 0\) の解の大小関係を調べ, それらを大きい順に並べよ.
\(e\) を自然対数の底とし, \(t\) を \(t \gt e\) となる実数とする. このとき, 曲線 \(C : \ y = e^x\) と 直線 \(y = tx\) は相異なる \(2\) 点で交わるので, 交点のうち \(x\) 座標が小さいものを P , 大きいものを Q とし, P , Q の \(x\) 座標をそれぞれ \(\alpha , \beta \ ( \alpha \lt \beta )\) とする. また, P における \(C\) の接線と Q における \(C\) の接線との交点を R とし,
曲線 \(C\) , \(x\) 軸および \(2\) つの直線 \(x = \alpha\) , \(x = \beta\) で囲まれる部分の面積を \(S _ 1\) ,
曲線 \(C\) および \(2\) つの直線 PR , QR で囲まれる部分の面積を \(S _ 2\)
とする. このとき, 次の問に答えよ.
(1) \(\dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を \(\alpha\) と \(\beta\) を用いて表せ.
(2) \(\alpha \lt \dfrac{e}{t}\) , \(\beta \lt 2 \log t\) となることを示し, \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を求めよ. 必要ならば, \(x \gt 0\) のとき \(e^x \gt x^2\) であることを証明なしに用いてよい.