\(a-b-8\) と \(b-c-8\) が素数となるような素数の組 \(( a , b , c )\) をすべて求めよ.

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\(0 \lt t \lt 1\) とし, 放物線 \(C : \ y = x^2\) 上の点 \(( t , t^2 )\) における接線を \(l\) とする. \(C\) と \(l\) と \(x\) 軸で囲まれる部分の面積を \(S_1\) とし, \(C\) と \(l\) と直線 \(x = 1\) で囲まれる部分の面積を \(S_2\) とする. \(S_1 +S_2\) の最小値を求めよ.

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円 \(C : \ x^2 +y^2 = 1\) 上の点Pにおける接線を \(l\) とする. 点 \(( 1 , 0 )\) を通り, \(l\) と平行な直線を \(m\) とする. 直線 \(m\) と円 \(C\) の \(( 1 , 0 )\) 以外の共有点をP'とする. ただし, \(m\) が直線 \(x = 1\) のときはP'を \(( 1 , 0 )\) とする. 円 \(C\) 上の点 \(( s , t )\) から点P' \(( s' , t' )\) を得る上記の操作をTと呼ぶ.

1. (1)　\(s' , t'\) をそれぞれ \(s\) と \(t\) の多項式として表せ.
2. (2)　点Pに操作Tを \(n\) 回繰り返して得られる点を \(\text{P} _ n\) とおく. Pが \(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} , \dfrac{1}{2} \right)\) のとき, \(\text{P} _ 1 , \text{P} _ 2 , \text{P} _ 3\) を図示せよ.
3. (3)　正の整数 \(n\) について, \(\text{P} _ n = \text{P}\) となるような点Pの個数を求めよ.

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半径 \(1\) の球が直円錐に内接している. この直円錐の底面の半径を \(r\) とし, 表面積を \(S\) とする.

1. (1)　\(S\) を \(r\) を用いて表せ.
2. (2)　\(S\) の最小値を求めよ.

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数直線上の点Pを次の規則で移動させる. 一枚の硬貨を投げて, 表が出ればPを \(+1\) だけ移動させ, 裏が出ればPを原点に関して対称な点に移動させる. Pは初め原点にあるとし, 硬貨を \(n\) 回投げた後のPの座標を \(a_n\) とする.

1. (1)　\(a_3 = 0\) となる確率を求めよ.
2. (2)　\(a_4 = 1\) となる確率を求めよ.
3. (3)　\(n \geqq 3\) のとき, \(a_n = n-3\) となる確率を \(n\) を用いて表せ.

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