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医科歯科大2013：第3問

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\(m , n\) を自然数として, 関数 \(f(x) = x^m (1-x)^n\) を考える. このとき以下の各問いに答えよ.

  1. (1)　\(0 \leqq x \leqq 1\) における \(f(x)\) の最大値を \(m , n\) を用いて表せ.

  2. (2)　定積分 \(\displaystyle\int _ 0^1 f(x) \, dx\) を \(m , n\) を用いて表せ.

  3. (3)　\(a , b , c\) を実数として, 関数 \(g(x) = ax^2+bx+c\) の \(0 \leqq x \leqq 1\) における最大値を \(M(a,b,c)\) とする. 次の \(2\) 条件 (i) , (ii) が成立するとき, \(M(a,b,c)\) の最小値を \(m , n\) を用いて表せ.

  4. (i)　\(g(0) = g(1) = 0\)

  5. (ii)　\(0 \lt x \lt 1\) のとき \(f(x) \leqq g(x)\)

  6. (4)　\(m , n\) が \(2\) 以上の自然数で \(m \gt n\) であるとき \[ \dfrac{(m+n+1)!}{m! n!} \gt \dfrac{(m+n)^{m+n}}{m^m n^n} \gt 2^{2n-1} \ . \] が成立することを示せ.

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阪大理系2013：第5問

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\(n\) を \(3\) 以上の整数とする. \(n\) 個の球 \(K _ 1 , K _ 2 , \cdots , K _ n\) と \(n\) 個の空の箱 \(H _ 1 , H _ 2 , \cdots , H _ n\) がある. 以下のように, \(K _ 1 , K _ 2 , \cdots , K _ n\) の順番に, 球を箱に \(1\) つずつ入れていく. まず, 球 \(K _ 1\) を箱 \(H _ 1 , H _ 2 , \cdots , H _ n\) のどれか \(1\) つに無作為に入れる. 次に球 \(K _ 2\) を, 箱 \(H _ 2\) が空ならば箱 \(H _ 2\) に入れ, 箱 \(H _ 2\) が空でなければ残りの \(n-1\) 個の空の箱のどれか \(1\) つに無作為に入れる. 一般に, \(i = 2, 3, \cdots , n\) について, 球 \(K _ i\) を, 箱 \(H _ i\) が空ならば箱 \(H _ i\) に入れ, 箱 \(H _ i\) が空でなければ残りの \(n-i+1\) 個の空の箱のどれか \(1\) つに無作為に入れる.

  1. (1)　\(K _ n\) が入る箱は \(H _ 1\) または \(H _ n\) である. これを証明せよ.

  2. (2)　\(K _ {n-1}\) が \(H _ {n-1}\) に入る確率を求めよ.

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