以下の各問いに答えよ.

1. (1)　底面の半径が \(r\) , 高さが \(h\) の直円錐の側面積を \(r\) と \(h\) を用いて表せ.

2. (2)　座標平面上の \(4\) 点 A \(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{3} , 1 \right)\) , B \(\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} , \dfrac{3}{2} \right)\) , E \(\left( 0 , \dfrac{3}{2} \right)\) , F \(( 0 , 1 )\) を考える. 四角形 ABEF を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の表面積を求めよ.

3. (3)　座標平面上の曲線 \[ C : \ x^2+y^2 = 3 \quad ( 0 \lt x \lt \sqrt{2} , \ 1 \lt y \lt \sqrt{3} ) \] の上の点 Q を考える. 点 Q と同じ \(y\) 座標を持つ \(y\) 軸上の点を H とし, 原点 O と点 Q を結ぶ線分 OQ が直線 \(y = 1\) と交わる点を P とする. さらに点 F \(( 0 , 1 )\) をとる. 四角形 PQHF を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の面のうち, 線分 PQ が \(1\) 回転してできる面の表面積を \(S\) とする. 点 Q が曲線 \(C\) 上を動くとき \(S\) の最大値を求めよ.

座標平面上の動点 Q が以下の規則 (a) ～ (f) に従って \(1\) 秒ごとに移動する.

1. (a)　原点 \((0,0)\) を出発点とし, まず点 \((1,0)\) または点 \((0,1)\) または点 \((0,-1)\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{3}\) で移動する.

2. (b)　ある時刻に点 \(( x-1 , y )\) から点 \(( x , y )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x+1 , y )\) または点 \(( x , y+1 )\) または点 \(( x , y-1 )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{3}\) で移動する.

3. (c)　ある時刻に点 \(( x , 0 )\) から点 \(( x , 1 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x , 2 )\) または点 \(( x+1 , y )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で移動する.

4. (d)　ある時刻に点 \(( x , 0 )\) から点 \(( x , -1 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x , -2 )\) または点 \(( x+1 , -1 )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で移動する.

5. (e)　ある時刻に点 \(( x , 1 )\) または点 \(( x , -1 )\) から点 \(( x , 0 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x+1 , 0 )\) に移動する.

6. (f)　直線 \(y = 2\) 上の点または直線 \(y = -2\) 上の点に達した場合には停止する.

このとき以下の各問いに答えよ.

1. (1)　\(n\) を正の整数とするとき, Q がある時刻に点 \(( n-1 , 0 )\) に位置し, かつその \(1\) 秒後に点 \(( n , 0 )\) に移動している確率を \(p _ n\) とする. また Q がある時刻に点 \(( n-1 , 1 )\) に位置し, かつその \(1\) 秒後に点 \(( n , 1 )\) に移動している確率を \(p' _ n\) とする. \(p _ 1 , p _ 2 , p' _ 1 , p' _ 2\) をそれぞれ求めよ.

2. (2)　Q が直線 \(x=2\) 上の点に達する確率, および直線 \(x=3\) 上の点に達する確率をそれぞれ求めよ.

3. (3)　\(m\) を正の整数とするとき, Q が \(( m , 0 )\) に達する確率を \(m\) で表せ.

\(ad -bc = 1 , \ a \gt 0\) を満たす整数 \(a , b , c , d\) を考える. 行列 \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} 6 & 10 \\ 10 & 17 \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right) , \\ M & = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) , \quad N = \left( \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array} \right) \ . \end{align}\] が \(NA = BM^{-1}\) を満たすとき, 以下の各問いに答えよ. ただし, \(M^{-1}\) は \(M\) の逆行列を表す.

1. (1)　\(6a^2+20ac+17c^2\) の値を求めよ.

2. (2)　\(2a^2+b^2\) の値を求めよ.

3. (3)　\(a , b , c , d\) の値を求めよ.

4. (4)　\(6x^2+20xy+17y^2 = 59\) を満たす実数 \(x , y\) に対して \[ \left\{ \begin{array}{l} X = dx-by \\ Y = -cx+ay \end{array} \right. \ . \] とおくとき, \(X^2+2Y^2\) の値を求めよ.

5. (5)　\(6x^2+20xy+17y^2 = 59\) を満たす整数の組 \((x,y)\) をすべて求めよ.