袋の中に赤と黄と青の玉が \(1\) 個ずつ入っている. 「この袋から玉を \(1\) 個取り出し, 出た玉と同じ色の玉を袋の中に \(1\) 個追加する」という操作を \(N\) 回繰り返した後, 赤の玉が袋の中に \(m\) 個ある確率を \(p _ N (m)\) とする.
(1) 連比 \(p _ 3 (1) : p _ 3 (2) : p _ 3 (3) : p _ 3 (4)\) を求めよ.
(2) 一般の \(N\) に対し \(p _ N (m) \ ( 1 \leqq m \leqq N+1 )\) を求めよ.
\(n\) を \(2\) 以上の自然数とし, 整式 \(x^n\) を \(x^2-6x-12\) で割った余りを \(a _ n x +b _ n\) とする.
(1) \(a _ 2 , b _ 2\) を求めよ.
(2) \(a _ {n+1} , b _ {n+1}\) を \(a _ n , b _ n\) を用いて表せ.
(3) 各 \(n\) に対して, \(a _ n\) と \(b _ n\) の公約数で素数となるものをすべて求めよ.
\(\angle \text{C}\) を直角とする直角三角形 ABC に対して, \(\angle \text{A}\) の二等分線と線分 BC の交点を D とする. また, 線分 AD , DC , CA の長さをそれぞれ \(5, 3, 4\) とする. \(\angle \text{A} = \theta\) とおくとき, 次の問いに答えよ.
(1) \(\sin \theta\) を求めよ.
(2) \(\theta \lt \dfrac{5}{12} \pi\) を示せ. ただし, \(\sqrt{2} = 1.414 \cdots\) , \(\sqrt{3} = 1.732 \cdots\) を用いてもよい.
自然数 \(n\) に対し, 方程式 \[ \dfrac{1}{x^n} -\log x -\dfrac{1}{e} = 0 \] を考える. ただし. 対数は自然対数であり, \(e\) はその底とする.
(1) 上の方程式は \(x \geqq 1\) にただ一つの解をもつことを示せ.
(2) (1) の解を \(x _ n\) とする. このとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} x _ n = 1\) を示せ.
\(xy\) 平面上に \(4\) 点 \((0,0) , (4,0) , (4,4) , (0,4)\) を頂点とする正方形 \(K\) を考える. 点 \((1,2)\) を通る各直線に対して, その \(K\) に含まれる部分を \(l\) とおく.
(1) \(l\) の長さの最大値と, それを与える直線の方程式を求めよ.
(2) \(l\) の長さの最小値を求めよ.
\(xyz\) 空間において, 点 \((1,0,1)\) と点 \((1,0,2)\) を結ぶ線分を \(l\) とし, \(l\) を \(z\) 軸のまわりに一回転してできる図形を \(A\) とする. \(A\) を \(x\) 軸のまわりに一回転してできる立体の体積を求めよ.
\(a \gt 0\) に対し \[\begin{align} I _ 0 (a) & = \displaystyle\int _ {0}^a \sqrt{1+x} \, dx , \\ I _ n (a) & = \displaystyle\int _ {0}^a x^n \sqrt{1+x} \, dx \quad ( n = 1, 2, \cdots ) \end{align}\] とおく.
(1) \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} a^{-\frac{3}{2}} I _ 0 (a)\) を求めよ.
(2) 漸化式 \[ I _ n (a) = \dfrac{2}{3+2n} a^n (1+a)^{\frac{3}{2}} -\dfrac{2n}{3+2n} I _ {n-1} (a) \quad ( n = 1, 2, \cdots ) \] を示せ.
(3) 自然数 \(n\) に対して, \(\displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} a^{- \left( \frac{3}{2} +n \right)} I _ n (a)\) を求めよ.