\(2\) 以上の整数 \(m , n\) は \(m^3+1^3 = n^3+10^3\) をみたす. \(m , n\) を求めよ.

1. (1)　任意の角 \(\theta\) に対して, \(-2 \leqq x \cos \theta +y \sin \theta \leqq y+1\) が成立するような点 \((x, y)\) の全体からなる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.

2. (2)　任意の角 \(\alpha , \beta\) に対して, \(-1 \leqq x^2 \cos \alpha +y \sin \beta \leqq 1\) が成立するような点 \((x, y)\) の全体からなる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.

\(p , q\) を実数とする. 放物線 \(y = x^2-2px+q\) が, 中心 \((p, 2p)\) で半径 \(1\) の円と中心 \((p, p)\) で半径 \(1\) の円の両方と共有点をもつ. この放物線の頂点が存在しうる領域を \(xy\) 平面上に図示せよ.

一辺の長さが \(2\) の正三角形 ABC を平面上におく. △ABC を \(1\) つの辺に関して \(180^{\circ}\) 折り返すという操作を繰り返し行う. 辺 BC に関する折り返しを \(T _ A\) , 辺 CA に関する折り返しを \(T _ B\) , 辺 AB に関する折り返しを \(T _ C\) とする. △ABC は, 最初 \(3\) 点 A , B , C がそれぞれ平面上の \(3\) 点 O , B' , C' の上に置かれているとする.

1. (1)　\(T _ A , T _ C , T _ B , T _ C , T _ A\) の順に折り返し操作を施したときの頂点 A の移り先を P とする. \(T _ A , T _ C , T _ B , T _ A , T _ C , T _ B , T _ A\) の順に折り返し操作を施したときの頂点 A の移り先を Q とする. \(\theta = \angle \text{POQ}\) とするとき, \(\cos \theta\) の値を求めよ.

2. (2)　整数 \(k , l\) に対して, \(\overrightarrow{\text{OR}} = 3k \overrightarrow{\text{OB'}} +3l \overrightarrow{\text{OC'}}\) により定められる点 R は, \(T _ A , T _ B , T _ C\) の折り返し操作を組み合わせることにより, 点 A の移り先になることを示せ.

\(X , Y , Z\) と書かれたカードがそれぞれ \(1\) 枚ずつある. この中から \(1\) 枚のカードが選ばれたとき, \(xy\) 平面上の点 \(P\) を次の規則にしたがって移動する.

• \(X\) のカードが選ばれたとき, \(P\) を \(x\) 軸の正方向に \(1\) だけ移動する.

• \(Y\) のカードが選ばれたとき, \(P\) を \(y\) 軸の正方向に \(1\) だけ移動する.

• \(Z\) のカードが選ばれたとき, \(P\) は移動せずそのままの位置にとどまる.

1. (1)　\(n\) を正の整数とする. 最初, 点 \(P\) を原点の位置におく. \(X\) のカードと \(Y\) のカードの \(2\) 枚から無作為に \(1\) 枚を選び, \(P\) を, 上の規則にしたがって移動するという試行を \(n\) 回繰り返す.

   1. (i)　\(n\) 回の試行の後に \(P\) が到達可能な点の個数を求めよ.

   2. (ii)　\(P\) が到達する確率が最大の点をすべて求めよ.

2. (2)　\(n\) を正の \(3\) の倍数とする. 最初, 点 \(P\) を原点の位置におく. \(X\) のカード, \(Y\) のカード, \(Z\) のカードの \(3\) 枚から無作為に \(1\) 枚を選び, \(P\) を, 上の規則にしたがって移動するという試行を \(n\) 回繰り返す.

   1. (i)　\(n\) 回の試行の後に \(P\) が到達可能な点の個数を求めよ.

   2. (ii)　\(P\) が到達する確率が最大の点をすべて求めよ.