\(1\) つの角が \(120^{\circ}\) の三角形がある. この三角形の \(3\) 辺の長さ \(x , y , z\) は \(x \lt y \lt z\) を満たす整数である.

1. (1)　\(x+y-z = 2\) を満たす \(x , y , z\) の組をすべて求めよ.

2. (2)　\(x+y-z = 3\) を満たす \(x , y , z\) の組をすべて求めよ.

3. (3)　\(a , b\) を \(0\) 以上の整数とする. \(x+y-z = 2^a 3^b\) を満たす \(x , y , z\) の組の個数を \(a\) と \(b\) の式で表せ.

\(a\) を \(0\) 以上の定数とする. 関数 \(y = x^3-3a^2x\) のグラフと方程式 \(|x|+|y| = 2\) で表される図形の共有点の個数を求めよ.

定数 \(a , b , c , d\) に対して, 平面上の点 \((p,q)\) を点 \((ap+bq , cp+dq)\) に移す操作を考える. ただし, \((a,b,c,d) \neq (1,0,0,1)\) である. \(k\) を \(0\) でない定数とする. 放物線 \(C : \ y = x^2-x+k\) 上のすべての点は, この操作によって \(C\) 上に移る.

1. (1)　\(a , b , c , d\) を求めよ.

2. (2)　\(C\) 上の点 A における \(C\) の接線と, 点 A をこの操作によって移した点 A' における \(C\) の接線は, 原点で直交する. このときの \(k\) の値および点 A の座標をすべて求めよ.

\(xyz\) 空間内の平面 \(z = 2\) 上に点 P があり, 平面 \(z = 1\) 上に点 Q がある. 直線 PQ と \(xy\) 平面の交点を R とする.

1. (1)　P \((0,0,2)\) とする. 点 Q が平面 \(z = 1\) 上で点 \((0,0,1)\) を中心とする半径 \(1\) の円周上を動くとき, 点 R の軌跡の方程式を求めよ.

2. (2)　平面 \(z = 1\) 上に \(4\) 点 A \((1,1,1)\) , B \((1,-1,1)\) , C \((-1,-1,1)\) , D \((-1,1,1)\) をとる. 点 P が平面 \(z = 2\) 上で点 \((0,0,2)\) を中心とする半径 \(1\) の円周上を動き, 点 Q が正方形 ABCD の周上を動くとき, 点 R が動きうる領域を \(xy\) 平面上に図示し, その面積を求めよ.

最初に \(1\) の目が上面にあるようにサイコロが置かれている. その後, \(4\) つの側面から \(1\) つの面を無作為に選び, その面が上面になるように置き直す操作を \(n\) 回繰り返す. なお, サイコロの向かい合う面の目の数の和は \(7\) である.

1. (1)　最後に \(1\) の目が上面にある確率を求めよ.

2. (2)　最後に上面にある目の数の期待値を求めよ.