\(2\) 行 \(2\) 列の行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) を考える. \(a , b , d\) が実数で \(c = 0\) である行列 \(\left( \begin{array}{cc} a & b \\ 0 & d \end{array} \right)\) を上三角行列という. また, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) とおく.

1. (1)　\(A^2 = E\) をみたす上三角行列 \(A\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(A^3 = E\) をみたす上三角行列 \(A\) をすべて求めよ.

3. (3)　上三角行列 \(A\) が \(A^4 = E\) をみたすとき, \(A^2 = E\) となることを示せ.

1. (1)　関数 \(f(x) = 2x^3-3x^2+1\) のグラフをかけ.

2. (2)　方程式 \(f(x) = a\) （ \(a\) は実数）が相異なる \(3\) つの実数解 \(\alpha \lt \beta \lt \gamma\) を持つとする. \(\ell = \gamma -\alpha\) を \(\beta\) のみを用いて表せ.

3. (3)　(2) の条件のもとで変化するとき \(\ell\) の動く範囲を求めよ.

数列 \(\{ a _ n \} \ ( a _ n \gt 0 )\) を次の規則によって定める： \[ a _ 1 = 1 \ : \ \displaystyle\int _ {a _ n}^{a _ {n+1}} \dfrac{dx}{\sqrt[3]{x}} = 1 \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] 曲線 \(y= \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}}\) と, \(x\) 軸および \(2\) 直線 \(x = a _ n\) , \(x = a _ {n+1}\) で囲まれた図形を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転させた回転体の体積を \(V _ x\) とする. このとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \sqrt{n} V _ x\) を求めよ.

原点 O \((0,0)\) を中心とする半径 \(1\) の円に, 円外の点 P \(( x _ 0 , y _ 0 )\) から \(2\) 本の接線を引く.

1. (1)　\(2\) つの接点の中点を Q とするとき, 点 Q の座標 \(( x _ 1 , y _ 1 )\) を点 P の座標 \(( x _ 0 , y _ 0 )\) を用いて表せ. また \(\text{OP} \cdot \text{OQ} = 1\) であることを示せ.

2. (2)　点 P が直線 \(x+y = 2\) 上を動くとき, 点 Q の軌跡を求めよ.

袋の中に赤と黄と青の玉が \(1\) 個ずつ入っている. 「この袋から玉を \(1\) 個取り出し, 出た玉と同じ色の玉を袋の中に \(1\) 個追加する」という操作を \(N\) 回繰り返した後, 赤の玉が袋の中に \(m\) 個ある確率を \(p _ N (m)\) とする.

1. (1)　連比 \(p _ 3 (1) : p _ 3 (2) : p _ 3 (3) : p _ 3 (4)\) を求めよ.

2. (2)　一般の \(N\) に対し \(p _ N (m) \ ( 1 \leqq m \leqq N+1 )\) を求めよ.