\(a \gt 0 , \ b \gt 0\) とする. 点 A \((0, a)\) を中心とする半径 \(r\) の円が, 双曲線 \(x^2-\dfrac{y^2}{b^2}=1\) と \(2\) 点 B \((s, t)\) , C \((-s, t)\) で接している. ただし, \(s \gt 0\) とする. ここで, 双曲線と円が点 P で接するとは, P が双曲線と円の共有点であり, かつ点 P における双曲線の接線と点 P における円の接線が一致することである.

1. (1)　\(r , s , t\) を \(a\) と \(b\) を用いて表せ.

2. (2)　△ABC が正三角形となる \(a\) と \(r\) が存在するような \(b\) の値を求めよ.

関数 \(f(x)\) と \(g( \theta )\) を \[\begin{align} f(x) & = \displaystyle\int _ {-1}^x \sqrt{1-t^2} \, dt \quad ( -1 \leqq x \leqq 1 ) , \\ g( \theta ) & = f( \cos \theta ) -f( \sin \theta ) \quad ( 0 \leqq \theta \leqq 2\pi ) \end{align}\] で定める.

1. (1)　導関数 \(g'( \theta )\) を求めよ.

2. (2)　\(g( \theta )\) を求めよ.

3. (3)　\(y = g( \theta )\) のグラフをかけ.

行列 \(A = \dfrac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{array} \right)\) に対して, 座標空間の点 \(\text{P} _ n\) の座標 \(( a _ n , b _ n , c _ n ) \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を, \(( a _ 1 , b _ 1 , c _ 1 ) = ( 1, 0, 0 )\) . \[ \left( \begin{array}{c} a _ {n+1} \\ b _ {n+1} \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} a _ n \\ b _ n \end{array} \right) , \ c _ {n+1} = c _ n +\sqrt{a _ n b _ n} \quad ( n= 1, 2, 3, \cdots ) \] で定める.

1. (1)　\(A^3\) を求めよ.

2. (2)　点 \(\text{P} _ 2 , \text{P} _ 3 , \text{P} _ 4\) の座標を求めよ.

3. (3)　点 \(\text{P} _ n\) の座標を求めよ.

さいころを投げると, \(1\) から \(6\) までの整数の目が等しい確率で出るとする. さいころを \(n\) 回（ \(n=1, 2, 3, \cdots\) ）投げるとき, 出る目の積の一の位が \(j \ ( j = 0, 1, 2, \cdots , 9 )\) となる確率を \(p _ n(j)\) とする.

1. (1)　\(p _ 2(0) , p _ 2(1) , p _ 2(2)\) を求めよ.

2. (2)　\(p _ {n+1}(1)\) を, \(p _ n(1)\) と \(p _ n(7)\) を用いて表せ.

3. (3)　\(p _ n(1)+p _ n(3)+p _ n(7)+p _ n(9)\) を求めよ.

4. (4)　\(p _ n(5)\) を求めよ.

\(x , y\) を正の整数とする.

1. (1)　\(\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{4}\) をみたす組 \((x, y)\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(p\) を \(3\) 以上の素数とする. \(\dfrac{2}{x} +\dfrac{1}{y}= \dfrac{1}{p}\) をみたす組 \((x, y)\) のうち, \(2x+3y\) を最小にする \((x, y)\) を求めよ.