\(a\) を正の定数とし, \(xy\) 平面上の曲線 \(C\) の方程式を \(y = x^3 -a^2x\) とする.

1. (1)　\(C\) 上の点 A \(( t, t^3 -a^2t )\) における \(C\) の接線を \(\ell\) とする. \(\ell\) と \(C\) で囲まれた図形の面積 \(S(t)\) を求めよ. ただし, \(t\) は \(0\) でないとする.

2. (2)　\(b\) を実数とする. \(C\) の接線のうち \(xy\) 平面上の点 B \(( 2a , b )\) を通るものの本数を求めよ.

3. (3)　\(C\) の接線のうち点 B \(( 2a , b )\) を通るものが \(2\) 本のもの場合を考え, それらの接線を \(\ell _ 1 , \ell _ 2\) とする. ただし, \(\ell _ 1\) と \(\ell _ 2\) はどちらも原点 \((0,0)\) は通らないとする. \(\ell _ 1\) と \(C\) で囲まれた図形の面積を \(S _ 1\) とし, \(\ell _ 2\) と \(C\) で囲まれた図形の面積を \(S _ 2\) とする. \(S _ 1 \geqq S _ 2\) として, \(\dfrac{S _ 1}{S _ 2}\) の値を求めよ.

\(f _ 0 (x) = x e^x\) として, 正の整数 \(n\) に対して, \[ f _ n (x) = \displaystyle\int _ {-x}^x f _ {n-1} (t) \, dt +f' _ {n-1} (x) \] により実数 \(x\) の関数 \(f _ n (x)\) を定める.

1. (1)　\(f _ 1 (x)\) を求めよ.

2. (2)　\(g(x) = \displaystyle\int _ {-x}^x (at+b) e^t \, dt\) とするとき, 定積分 \(\displaystyle\int _ {-c}^c g(x) \, dx\) を求めよ. ただし, 実数 \(a , b , c\) は定数とする.

3. (3)　正の整数 \(n\) に対して, \(f _ {2n} (x)\) を求めよ.

\(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(1\) から \(n\) までの整数が \(1\) つずつ書かれている \(n\) 枚のカードがある. ただし, 異なるカードには異なる整数が書かれているものとする. この \(n\) 枚のカードから, \(1\) 枚のカードを無作為に取り出して, 書かれた整数を調べてからもとに戻す. この試行を \(3\) 回繰り返し, 取り出したカードに書かれた整数の最小値を \(X\) , 最大値を \(Y\) とする. 次の問に答えよ. ただし, \(j\) と \(k\) は正の整数で \(j+k \leqq n\) を満たすとする. また, \(s\) は \(n-1\) 以下の正の整数とする.

1. (1)　\(X \geqq j\) かつ \(Y \leqq j+k\) となる確率を求めよ.

2. (2)　\(X = j\) かつ \(Y = j+k\) となる確率を求めよ.

3. (3)　\(Y-X = s\) となる確率を \(P(s)\) とする. \(P(s)\) を求めよ.

4. (4)　\(n\) が偶数のとき, \(P(s)\) を最大にする \(s\) を求めよ.

\(m , p\) を \(3\) 以上の奇数とし, \(m\) は \(p\) で割り切れないとする.

1. (1)　\((x-1)^{101}\) の展開式における \(x^2\) の項の係数を求めよ.

2. (2)　\((p-1)^m +1\) は \(p\) で割り切れることを示せ.

3. (3)　\((p-1)^m +1\) は \(p^2\) で割り切れないことを示せ.

4. (4)　\(r\) を正の整数とし, \(s = 3^{r-1}m\) とする. \(2^s +1\) は \(3^r\) で割り切れることを示せ.