\(3\) 人でジャンケンをする. 各人はグー, チョキ, パーをそれぞれ \(\dfrac{1}{3}\) の確率で出すものとする. 負けた人は脱落し, 残った人で次回のジャンケンを行い（アイコのときは誰も脱落しない）, 勝ち残りが \(1\) 人になるまでジャンケンを続ける. このとき各回の試行は独立とする. \(3\) 人でジャンケンを始め, ジャンケンが \(n\) 回目まで続いて \(n\) 回目終了時に \(2\) 人が残っている確率を \(p_n\) , \(3\) 人が残っている確率を \(q_n\) とおく.
(1) \(p_1 , q_1\) を求めよ.
(2) \(p_n , q_n\) がみたす漸化式を導き, \(p_n , q_n\) の一般項を求めよ.
(3) ちょうど \(n\) 回目で \(1\) 人の勝ち残りが決まる確率を求めよ.
\(x \gt 0\) とし, \(f(x) = \log x^{100}\) とおく.
(1) 次の不等式を証明せよ. \[ \dfrac{100}{x+1} \lt f(x+1) -f(x) \lt \dfrac{100}{x} \]
(2) 実数 \(a\) の整数部分（ \(k \leqq a \lt k+1\) となる整数 \(k\) ）を \([a]\) で表す. 整数 \(\left[ f(1) \right] , \left[ f(2) \right] , \cdots , \left[ f(1000) \right]\) のうちで異なるものの個数を求めよ. 必要ならば \(\log 10 = 2.3026\) として計算せよ.
\(k , m , n\) は整数とし, \(n \geqq 1\) とする. \({} _ {n}\text{C} {} _ {k}\) を二項係数として, \(S_k(n) , T_m(n)\) を以下のように定める. \[\begin{align} S_k(n) & = 1^k +2^k + \cdots +n^k , \ S_k(1) = 1 \quad ( k \geqq 0 ） \\ T_m(n) & = {} _ {m}\text{C} {} _ {1} S_1(n) +{} _ {m}\text{C} {} _ {2} S_2(n) + \cdots +{} _ {m}\text{C} {} _ {m-1} S_{m-1}(n) \\ & = \textstyle\sum\limits_{k=1}^{m-1} {} _ {m}\text{C} {} _ {k} S_k(n) \quad ( m \geqq 2 ) \end{align}\]
(1) \(T_m(1)\) と \(T_m(2)\) を求めよ.
(2) 一般の \(n\) に対して \(T_m(n)\) を求めよ.
(3) \(p\) が \(3\) 以上の素数のとき, \(S_k(p-1) \ ( k = 1, 2, 3, \cdots , p-2 )\) は \(p\) の倍数であることを示せ .
半径 \(1\) の円盤 \(C_1\) が半径 \(2\) の円盤 \(C_2\) に貼り付けられており, \(2\) つの円盤の中心は一致する. \(C_2\) の周上にある定点を A とする. 図のように, 時刻 \(t=0\) において \(C_1\) はO \((0,0)\) で \(x\) 軸に接し, A は座標 \((0,-1)\) の位置にある. \(2\) つの円盤は一体となり, \(C_1\) は \(x\) 軸上をすべることなく転がっていく. 時刻 \(t\) で \(C_1\) の中心が \((t,1)\) にあるように転がるとき, \(0 \leqq t \leqq 2 \pi\) において A が描く曲線を \(C\) とする.
(1) 時刻 \(t\) における A の座標を \(\left( x(t) , y(t) \right)\) で表す. \(\left( x(t) , y(t) \right)\) を求めよ.
(2) \(x(t)\) と \(y(t)\) の \(t\) に関する増減を調べ, \(x(t)\) あるいは \(y(t)\) が最大値または最小値をとるときの A の座標を全て求めよ.
(3) \(C\) と \(x\) 軸で囲まれた図形の面積を求めよ.
