空間内にある半径 \(1\) の球（内部を含む）を \(B\) とする. 直線 \(\ell\) と \(B\) が交わっており, その交わりは長さ \(\sqrt{3}\) の線分である.

1. (1)　\(B\) の中心と \(\ell\) との距離を求めよ.

2. (2)　\(\ell\) のまわりに \(B\) を \(1\) 回転してできる立体の体積を求めよ.

実数 \(t\) に対して, \(2\) 点 P \(( t , t^2 )\) , Q \(( t+1 , (t+1)^2 )\) を考える. \(t\) が \(-1 \leqq t \leqq 0\) の範囲を動くとき, 線分 PQ が通過してできる図形を図示し, その面積を求めよ.

\(xy\) 平面の \(y \geqq 0\) の部分にあり, \(x\) 軸に接する円の列 \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3 , \cdots\) を次のように定める.

• \(C _ 1\) と \(C _ 2\) は半径 \(1\) の円で, 互いに外接する.

• 正の整数 \(n\) に対し, \(C _ {n+2}\) は \(C _ n\) と \(C _ {n+1}\) に外接し, \(C _ n\) と \(C _ {n+1}\) の弧および \(x\) 軸に囲まれる部分にある.

円 \(C _ n\) の半径を \(r _ n\) とする.

1. (1)　等式 \(\dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{r _ n}} +\dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+1}}}\) を示せ.

2. (2)　すべての正の整数 \(n\) に対して \(\dfrac{1}{\sqrt{r _ n}} = s {\alpha}^n +t {\beta}^n\) が成り立つように, \(n\) によらない定数 \(\alpha , \beta , s , t\) の値を一組与えよ.

3. (3)　\(n \rightarrow \infty\) のとき数列 \(\left\{ \dfrac{r _ n}{k^n} \right\}\) が正の値に収束するように実数 \(k\) の値を定め, そのときの極限値を求めよ.

解答

(1)

円 \(C _ n\) の中心を \(\text{A} _ n\) , \(x\) 軸との接点を \(\text{H} _ n\) とおく. \[\begin{align} \text{H} _ n \text{H} _ {n+1} & = \sqrt{( r _ n +r _ {n+1})^2 -( r _ n -r _ {n+1})^2} \\ & = 2 \sqrt{r _ n r _ {n+1}} \ . \end{align}\] 同様に \[ \text{H} _ {n+1} \text{H} _ {n+2} = 2 \sqrt{r _ {n+1} r _ {n+2}} , \ \text{H} _ n \text{H} _ {n+2} = 2 \sqrt{r _ n r _ {n+2}} \ . \] \(\text{H} _ n \text{H} _ {n+1} = \text{H} _ {n+1} \text{H} _ {n+2} +\text{H} _ n \text{H} _ {n+2}\) なので \[\begin{align} 2 \sqrt{r _ n r _ {n+1}} & = 2 \sqrt{r _ {n+1} r _ {n+2}} +2 \sqrt{r _ n r _ {n+2}} \\ \text{∴} \quad \dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+2}}} & = \dfrac{1}{\sqrt{r _ n}} +\dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+1}}} \ . \end{align}\]

(2)

\(a _ n = \dfrac{1}{\sqrt{r _ n}}\) とおくと, (1) の結果より \[ a _ {n+2} -a _ {n+1} -a _ n = 0 \quad ... [1] \ . \] 方程式 \(x^2 -x -1 = 0\) の解を \(p , q \ ( p \gt q )\) とおくと \[ p = \dfrac{1 +\sqrt{5}}{2} , \ q = \dfrac{1 -\sqrt{5}}{2} \ . \] また, 解と係数の関係より \(p+q = 1\) , \(pq = -1\) なので, [1] より \[\begin{align} a _ {n+2} -p a _ {n+1} & = q \left( a _ {n+1} -p a _ n \right) , \\ a _ {n+2} -q a _ {n+1} & = p \left( a _ {n+1} -q a _ n \right) \ . \end{align}\] したがって, \(a _ 1 = a _ 2 = 1\) であることを用いれば \[\begin{align} a _ {n+1} -p a _ n & = q^{n-1} \left( a _ 2 -p a _ 1 \right) = q^{n-1} (1-p) = q^n, \\ a _ {n+1} -q a _ n & = p^{n-1} \left( a _ 2 -q a _ 1 \right) = p^{n-1} (1-q) = p^n \ . \end{align}\] 辺々を引くと \[\begin{align} (p-q) a _ n & = p^n -q^n \\ \text{∴} \quad a _ n & = \dfrac{1}{p-q} \left( p^n -q^n \right) \ . \end{align}\] \(p-q = \sqrt{5}\) なので, 求める組合せの \(1\) つは \[ \alpha = \underline{\dfrac{1 +\sqrt{5}}{2}} , \ \beta = \underline{\dfrac{1 -\sqrt{5}}{2}} , \ s = t = \underline{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} \ . \]

(3)

(2) の結果を用いれば \[\begin{align} \dfrac{r _ n}{k^n} & = \dfrac{1}{k^n \left( s {\alpha}^n +t {\beta}^n \right)^2} \\ & = \underline{\dfrac{1}{\left( k {\alpha}^2 \right)^n}} _ {[2]} \cdot \underline{\dfrac{1}{\left\{s +t \left( \frac{\beta}{\alpha} \right)^n \right\}^2}} _ {[3]} \ . \end{align}\] 下線部 [3] について, \(\left| \dfrac{\beta}{\alpha} \right| \lt 1\) なので, \(n \rightarrow \infty\) のとき \[ [3] \rightarrow \dfrac{1}{s^2} = \dfrac{1}{5} \ . \] したがって, 下線部 [2] が, 正の値に収束する条件を考えればよい.
よって, 求める \(k\) の値は \[\begin{align} k {\alpha}^2 & = 1 \\ \text{∴} \quad k & = \dfrac{1}{{\alpha}^2} = \underline{\dfrac{3 -\sqrt{5}}{2}} \ . \end{align}\] また, このとき \[\begin{align} \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{r _ n}{k^n} = \underline{\dfrac{1}{5}} \ . \end{align}\]

負でない整数 \(N\) が与えられたとき, \(a _ 1 = N\) , \(a _ {n+1} = \left[ \dfrac{N}{2} \right] \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) として数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を定める. ただし \([a]\) は, 実数 \(a\) の整数部分（ \(k \leqq a \lt k+1\) となる整数 \(k\) ）を表す.

1. (1)　\(a _ 3 = 1\) となるような \(N\) をすべて求めよ.

2. (2)　\(0 \leqq N \lt 2^{10}\) をみたす整数 \(N\) のうちで, \(N\) から定まる数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) のある項が \(2\) となるようなものはいくつあるか.

3. (3)　\(0\) から \(2^{100} -1\) までの \(2^{100}\) 個の整数から等しい確率で \(N\) を選び, 数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を定める. 次の条件 (＊) をみたす最小の正の整数 \(m\) を求めよ.

   1. (＊)　数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) のある項が \(m\) となる確率が \(\dfrac{1}{100}\) 以下となる.