次の問に答えよ.

1. (1)　関数 \(f(x) = x^{-2} 2^x \ ( x \neq 0 )\) について, \(f'(x) \gt 0\) となるための \(x\) に関する条件を求めよ.

2. (2)　方程式 \(2^x = x^2\) は相異なる \(3\) つの実数解をもつことを示せ.

3. (3)　方程式 \(2^x = x^2\) の解で有理数であるものをすべて求めよ.

次の問に答えよ.

1. (1)　\(a = \sqrt{13} +\sqrt{9 +2 \sqrt{17}} +\sqrt{9 -2 \sqrt{17}}\) とするとき, 整数係数の \(4\) 次多項式 \(f(x)\) で \(f(a) = 0\) となるもののうち, \(x^4\) の係数が \(1\) であるものを求めよ.

2. (2)　\(8\) つの実数 \[ \pm \sqrt{13} \pm \sqrt{9 +2 \sqrt{17}} \pm \sqrt{9 -2 \sqrt{17}} \] （ただし, 複号 \(\pm\) はすべての可能性にわたる）の中で, (1) で求めた \(f(x)\) に対して方程式 \(f(x) = 0\) の解となるものをすべて求め, それ以外のものが解でないことを示せ.

3. (3)　(2) で求めた \(f(x) = 0\) の解の大小関係を調べ, それらを大きい順に並べよ.

\(e\) を自然対数の底とし, \(t\) を \(t \gt e\) となる実数とする. このとき, 曲線 \(C : \ y = e^x\) と 直線 \(y = tx\) は相異なる \(2\) 点で交わるので, 交点のうち \(x\) 座標が小さいものを P , 大きいものを Q とし, P , Q の \(x\) 座標をそれぞれ \(\alpha , \beta \ ( \alpha \lt \beta )\) とする. また, P における \(C\) の接線と Q における \(C\) の接線との交点を R とし,

• 曲線 \(C\) , \(x\) 軸および \(2\) つの直線 \(x = \alpha\) , \(x = \beta\) で囲まれる部分の面積を \(S _ 1\) ,

• 曲線 \(C\) および \(2\) つの直線 PR , QR で囲まれる部分の面積を \(S _ 2\)

とする. このとき, 次の問に答えよ.

1. (1)　\(\dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を \(\alpha\) と \(\beta\) を用いて表せ.

2. (2)　\(\alpha \lt \dfrac{e}{t}\) , \(\beta \lt 2 \log t\) となることを示し, \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を求めよ. 必要ならば, \(x \gt 0\) のとき \(e^x \gt x^2\) であることを証明なしに用いてよい.

数直線上にある \(1, 2, 3, 4, 5\) の \(5\) つの点と \(1\) つの石を考える. 石がいずれかの点にあるとき,

• 石が点 \(1\) にあるならば, 確率 \(1\) で点 \(2\) に移動する.

• 石が点 \(k \ ( k = 2, 3, 4 )\) にあるならば, 確率 \(\dfrac{1}{2}\) で点 \(k+1\) に移動する.

• 石が点 \(5\) にあるならば, 確率 \(1\) で点 \(4\) に移動する.

という試行を行う. 石が点 \(1\) にある状態から始め, この試行を繰り返す. また, 石が移動した先の点に印をつけていく（点 \(1\) には初めから印がついているものとする）. このとき, 次の問に答えよ.

1. (1)　試行を \(6\) 回繰り返した後に, 石が点 \(k \ ( k = 1, 2, 3, 4, 5 )\) にある確率をそれぞれ求めよ.

2. (2)　試行を \(6\) 回繰り返した後に, \(5\) つのすべてに印がついている確率を求めよ.

3. (3)　試行を \(n\) 回（ \(n \geqq 1\) ）繰り返した後に, ちょうど \(3\) つの点に印がついている確率を求めよ.