\(0 \leqq \alpha \leqq \beta\) をみたす実数 \(\alpha , \beta\) と, \(2\) 次式 \(f(x) = x^2 -( \alpha +\beta )x + \alpha \beta\) について, \[ \displaystyle\int _ {-1}^1 f(x) \, dx = 1 \] が成立しているとする. このとき定積分 \[ S = \displaystyle\int _ {0}^{\alpha} f(x) \, dx \] を \(\alpha\) の式で表し, \(S\) がとりうる値の最大値を求めよ.
白黒 \(2\) 種類のカードがたくさんある. そのうち \(k\) 枚のカードを手もとにもっているとき, 次の操作 (A) を考える.
以下の問 (1) , (2) に答えよ.
(1) 最初に白 \(2\) 枚, 黒 \(2\) 枚, 合計 \(4\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(4\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
(2) 最初に白 \(3\) 枚, 黒 \(3\) 枚, 合計 \(6\) 枚のカードをもっているとき, 操作 (A) を \(n\) 回繰り返した後に初めて, \(6\) 枚とも同じ色のカードになる確率を求めよ.
座標平面上の \(3\) 点 A \((1,0)\) , B \((-1,0)\) , C \((0,-1)\) に対し, \[ \angle \text{APC} = \angle \text{BPC} \] をみたす点 P の軌跡を求めよ. ただし \(\text{P} \neq \text{A, B, C}\) とする.
\(p\) を自然数とする. 次の関係式で定められる数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) を考える. \[ \left\{ \begin{array}{ll} a _ 1 = p , \ b _ 1 = p+1 & \\ a _ {n+1} = a _ n + p b _ n & ( n = 1, 2, 3 , \cdots ) \\ b _ {n+1} = p a _ n + (p+1) b _ n & ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \end{array} \right. \]
(1) \(n = 1, 2, 3, \cdots\) に対し, 次の \(2\) つの数がともに \(p^3\) で割り切れることを示せ. \[ a _ n -\dfrac{n(n-1)}{2}p^2 -np , \ b _ n -n(n-1)p^2 -np -1 \]
(2) \(p\) を \(3\) 以上の奇数とする. このとき, \(a _ p\) は \(p^2\) で割り切れるが, \(p^3\) では割り切れないことを示せ.