座標平面において原点を中心とする半径 \(2\) の円を \(C _ 1\) とし, 点 \((1,0)\) を中心とする半径 \(1\) の円を \(C _ 2\) とする. また, 点 \((a,b)\) を中心とする半径 \(t\) の円が \(C _ 3\) が, \(C _ 1\) に内接し, かつ \(C _ 2\) に外接すると仮定する. ただし, \(b\) は正の実数とする.

1. (1)　\(a , b\) を \(t\) を用いて表せ. また, \(t\) がとり得る値の範囲を求めよ.

2. (2)　\(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(b\) の最大値を求めよ.

自然数 \(m \geqq 2\) に対し, \(m-1\) 個の二項係数 \[ {} _ {m} \text{C} {} _ {1} , {} _ {m} \text{C} {} _ {2} , \cdots , {} _ {m} \text{C} {} _ {m-1} \] を考え, これらのすべての最大公約数を \(d _ m\) とする. すなわち \(d _ m\) はこれらすべてを割り切る最大の自然数である.

1. (1)　\(m\) が素数ならば, \(d _ m=m\) であることを示せ.

2. (2)　すべての自然数 \(k\) に対し, \(k^m-k\) が \(d _ m\) で割り切れることを, \(k\) に関する数学的帰納法によって示せ.

スイッチを \(1\) 回押すごとに, 赤, 青, 黄, 白のいずれかの色の玉が \(1\) 個, 等確率 \(\dfrac{1}{4}\) で出てくる機械がある. \(2\) つの箱 L と R を用意する. 次の \(3\) 種類の操作を考える.

1. (A)　\(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉を L に入れる.

2. (B)　\(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉を R に入れる.

3. (C)　\(1\) 回スイッチを押し, 出てきた玉と同じ色の玉が, L になければその玉を L に入れ, L にあればその玉を R に入れる.

1. (1)　L と R は空であるとする. 操作 (A) を \(5\) 回おこない, さらに操作 (B) を \(5\) 回おこなう. このとき L にも R にも \(4\) 色すべての玉が入っている確率 \(\text{P}{} _ 1\) を求めよ.

2. (2)　L と R は空であるとする. 操作 (C) を \(5\) 回おこなう. このとき L に \(4\) 色すべての玉が入っている確率 \(\text{P}{} _ 2\) を求めよ.

3. (3)　L と R は空であるとする. 操作 (C) を \(10\) 回おこなう. このとき L にも R にも \(4\) 色すべての玉が入っている確率を \(\text{P}{} _ 3\) とする. \(\dfrac{\text{P}{} _ 3}{\text{P}{} _ 1}\) を求めよ.

\(2\) 次以下の整式 \(f(x) = ax^2+bx+c\) に対し \[ S = \displaystyle\int _ 0^2 \left| f'(x) \right| \, dx \] を考える.

1. (1)　\(f(0) = 0\) , \(f(2) = 2\) のとき \(S\) を \(a\) の関数として表せ.

2. (2)　\(f(0) = 0\) , \(f(2) = 2\) をみたしながら \(f\) が変化するとき, \(S\) の最小値を求めよ.