O を原点とする座標平面上に点 A \(( -3 , 0 )\) をとり, \(0^{\circ} \lt \theta \lt 120^{\circ}\) の範囲にある \(\theta\) に対して, 次の条件 (i) , (ii) をみたす \(2\) 点 B , C を考える.

1. (i)　B は \(y \gt 0\) の部分にあり, \(\text{OB} = 2\) かつ \(\angle \text{AOB} = 180^{\circ} -\theta\) である.

2. (ii)　C は \(y \lt 0\) の部分にあり, \(\text{OC} = 1\) かつ \(\angle \text{BOC} = 120^{\circ}\) である.

以下の問 (1) , (2) に答えよ.

1. (1)　△OAB と △OAC の面積が等しいとき, \(\theta\) の値を求めよ.

2. (2)　\(\theta\) を \(0^{\circ} \lt \theta \lt 120^{\circ}\) の範囲で動かすとき, △OAB と △OAC の面積の和の最大値と, そのときの \(\sin \theta\) の値を求めよ.

\(2\) 次関数 \(f(x) = x^2+ax+b\) に対して \[ f(x+1) = c \displaystyle\int _ 0^1 ( 3x^2 +4xt ) f'(t) \, dt \] が \(x\) についての恒等式になるような定数 \(a , b , c\) の組をすべて求めよ.

\(2\) つの箱 L と R , \(30\) 個のボール, コイン投げで表と裏が等確率 \(\dfrac{1}{2}\) で出るコインを \(1\) 枚用意する. \(x\) を \(0\) 以上 \(30\) 以下の整数とする. L に \(x\) , R に \(30-x\) 個のボールを入れ, 次の操作 (＃) を繰り返す.

1. (＃)　箱 L に入っているボールの個数を \(z\) とする. コインを投げ, 表が出れば箱 R から箱 L に, 裏が出れば箱 L から箱 R に, \(K(z)\) 個のボールを移す. ただし, \(0 \leqq z \leqq 15\) のとき \(K(z) = z\) , \(16 \leqq z \leqq 30\) のとき \(K(z) = 30-z\) とする.

\(m\) 回の操作の後, 箱 L のボールの個数が \(30\) である確率を \(P _ m(x)\) とする. たとえば \(P _ 1(15) = P _ 2(15) = \dfrac{1}{2}\) となる. 以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(m \geqq 2\) のとき, \(x\) に対して \(y\) を選び, \(P _ m(x)\) を \(P _ {m-1}(y)\) で表せ.

2. (2)　\(n\) を自然数とするとき, \(P _ {2n}(10)\) を求めよ.

\(C\) を半径 \(1\) の円周とし, A を \(C\) 上の \(1\) 点とする. \(3\) 点 P , Q , R が A を時刻 \(t = 0\) に出発し, \(C\) 上を各々一定の速さで, P , Q は反時計回りに, R は時計回りに, 時刻 \(t = 2\pi\) まで動く. P , Q , R の速さは, それぞれ \(m , 1 , 2\) であるとする.（したがって, Qは \(C\) をちょうど一周する. ）ただし, \(m\) は \(1 \leqq m \leqq 10\) をみたす整数である. \(\triangle \text{PQR}\) が PR を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ \(m\) と時刻 \(t\) の組をすべて求めよ.