以下の問いに答えよ.
(1) \(t\) を実数の定数とする. 実数全体を定義域とする関数 \(f(x)\) を \[ f(x) = -2x^2 +8tx -12x +t^3 -17t^2 +39t -18 \] と定める. このとき, 関数 \(f(x)\) の最大値を \(t\) を用いて表せ.
(2) (1) の「関数 \(f(x)\) の最大値」を \(g(t)\) とする. \(t\) が \(t \geqq -\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) の範囲を動くとき, \(g(t)\) の最小値を求めよ.
\(a\) を自然数（すなわち \(1\) 以上の整数）の定数とする. 白球と赤球があわせて \(1\) 個以上入っている袋 U に対して, 次の操作 (＊) を考える.
(＊) 袋 U から球を \(1\) 個取り出し,
(i) 取り出した球が白球のときは, 袋 U の中身が白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となるようにする.
(ii) 取り出した球が赤球のときは, その球を袋 U へ戻すことなく, 袋 U の中身はそのままにする.
はじめに袋 U の中に, 白球が \(a+2\) 個, 赤球が \(1\) 個入っているとする. この袋 U に対して操作 (＊) を繰り返し行う. たとえば, \(1\) 回目の操作で白球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個, 赤球 \(1\) 個となり, さらに \(2\) 回目の操作で赤球が出たとすると, 袋 U の中身は白球 \(a\) 個のみとなる. \(n\) 回目に取り出した球が赤球である確率を \(p _ n\) とする. ただし, 袋 U の中の個々の球の取り出される確率は等しいものとする.
(1) \(p _ 1\) , \(p _ 2\) を求めよ.
(2) \(n \geqq 3\) に対して \(p _ n\) を求めよ.
座標平面の原点を O で表す.
線分 \(y = \sqrt{3} x \quad ( 0 \leqq x \leqq 2 )\) 上の点 P と, 線分 \(y = -\sqrt{3} x \quad ( -3 \leqq x \leqq 0 )\) 上の点 Q が, 線分 OP と線分 OQ の長さの和が \(6\) となるように動く. このとき, 線分 PQ の通過する領域を \(D\) とする.
(1) \(s\) を \(-3 \leqq s \leqq 2\) をみたす実数とするとき, 点 \((s,t)\) が \(D\) に入るような \(t\) の範囲を求めよ.
(2) \(D\) を図示せよ.
\(r\) を \(0\) 以上の整数とし, 数列 \(\{ a _ n \}\) を次のように定める. \[\begin{align} & a _ 1 = r , \quad a _ 2 = r+1 , \\ & a _ {n+2} = a _ {n+1} ( a _ n +1 ) \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{align}\] また, 素数 \(p\) を \(1\) つとり, \(a _ n\) を \(p\) で割った余りを \(b _ n\) とする. ただし, \(0\) を \(p\) で割った余りは \(0\) とする.
(1) 自然数 \(n\) に対し, \(b _ {n+2}\) は \(b _ {n+1} ( b _ n +1 )\) を \(p\) で割った余りと一致することを示せ.
(2) \(r=2\) , \(p=17\) の場合に, \(10\) 以下のすべての自然数 \(n\) に対して, \(b _ n\) を求めよ.
(3) ある \(2\) つの相異なる自然数 \(n , m\) に対して, \[ b _ {n+1} = b _ {m+1} \gt 0 , \quad b _ {n+2} = b _ {m+2} \] が成り立つとする. このとき \(b _ n = b _ m\) が成り立つことを示せ.