以下の命題 A , B それぞれに対し, その真偽を述べよ. また, 真ならば証明を与え, 偽ならば反例を与えよ.
命題 A \(n\) が正の整数ならば, \(\dfrac{n^3}{26} +100 \geqq n^2\) が成り立つ.
命題 B 整数 \(n , m , \ell\) が \(5n +5m +3 \ell = 1\) をみたすならば, \(10nm +3m \ell +3n \ell \lt 0\) が成り立つ.
座標平面上の \(2\) 点 A \(( -1 , 1 )\) , B \(( 1 , -1 )\) を考える. また, P を座標平面上の点とし, その \(x\) 座標の絶対値は \(1\) 以下であるとする. 次の条件 (i) または (ii) をみたす点 P の範囲を図示し, その面積を求めよ.
(i) 頂点の \(x\) 座標の絶対値が \(1\) 以上の \(2\) 次関数のグラフで, 点 A , P , B をすべて通るものがある.
(ii) 点 A , P , B は同一直線上にある.
\(\ell\) を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする. さらに, 以下の \(3\) 条件 (i) , (ii) , (iii) で定まる円 \(C _ 1 , C _ 2\) を考える.
(i) 円 \(C _ 1 , C _ 2\) は \(2\) つの不等式 \(x \geqq 0\) , \(y \geqq 0\) で定まる領域に含まれる.
(ii) 円 \(C _ 1 , C _ 2\) は直線 \(\ell\) と同一点で接する.
(iii) 円 \(C _ 1\) は \(x\) 軸と点 \(( 1 , 0 )\) で接し, 円 \(C _ 2\) は \(y\) 軸と接する.
円 \(C _ 1\) の半径を \(r _ 1\) , 円 \(C _ 2\) の半径を \(r _ 2\) とする. \(8 r _ 1 +9 r _ 2\) が最小となるような直線 \(\ell\) の方程式と, その最小値を求めよ.
投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ \(\dfrac{1}{2}\) のコインを \(1\) 枚用意し, 次のように左から順に文字を書く.
コインを投げ, 表が出たときは文字列 A A を書き, 裏が出たときは文字 B を書く. さらに繰り返しコインを投げ, 同じ規則に従って, A A, B をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば, コインを \(5\) 回投げ, その出た目が順に表, 裏, 裏, 表, 裏であったとすると, 得られる文字列は
\[
\text{A A B B A A B}
\]
となる. このとき, 左から \(4\) 番目の文字は B, \(5\) 番目の文字は A である.
(1) \(n\) を正の整数とする. \(n\) 回コインを投げ, 文字列をつくるとき, 文字列の左から \(n\) 番目の文字が A となる確率を求めよ.
(2) \(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(n\) 回コインを投げ, 文字列を作るとき, 文字列の左から \(n-1\) 番目の文字が A で, かつ \(n\) 番目の文字が B となる確率を求めよ.