\(e\) を自然対数の底, すなわち \(e = \displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \left( 1 +\dfrac{1}{t} \right)^t\) とする. すべての正の実数 \(x\) に対し, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right)^x \lt e \lt \left( 1 +\dfrac{1}{x} \right)^{x +\frac{1}{2}} \]
A , B , C の \(3\) つのチームが参加する野球の大会を開催する. 以下の方式で試合を行い, \(2\) 連勝したチームが出た時点で, そのチームを優勝チームとして大会は終了する.
(a) \(1\) 試合目で A と B が対戦する.
(b) \(2\) 試合目で, \(1\) 試合目の勝者と, \(1\) 試合目で待機していた C が対戦する.
(c) \(k\) 試合目で優勝チームが決まらない場合は, \(k\) 試合目の勝者と \(k\) 試合目で待機していたチームが \(k+1\) 試合目で対戦する. ここで \(k\) は \(2\) 以上の整数とする.
なお, すべての対戦において, それぞれのチームが勝つ確率は \(\dfrac{1}{2}\) で, 引き分けはないものとする.
(1) \(n\) を \(2\) 以上の整数とする. ちょうど \(n\) 試合目で A が優勝する確率を求めよ.
(2) \(m\) を正の整数とする. 総試合数が \(3m\) 回以下で A が優勝したとき, A の最後の対戦相手が B である条件付き確率を求めよ.
\(a\) を \(1 \lt a \lt 3\) をみたす実数とし, 座標空間内の \(4\) 点 \(\text{P} {} _ 1 \ ( 1 , 0 , 1 )\) , \(\text{P} {} _ 2 \ ( 1 , 1 , 1 )\) , \(\text{P} {} _ 3 \ ( 1 , 0 , 3 )\) , \(\text{Q} \ ( 0 , 0 , a )\) を考える. 直線 \(\text{P} {} _ 1 \text{Q}\) , \(\text{P} {} _ 2 \text{Q}\) , \(\text{P} {} _ 3 \text{Q}\) と \(xy\) 平面の交点をそれぞれ \(\text{R} {} _ 1\) , \(\text{R} {} _ 2\) , \(\text{R} {} _ 3\) として, 三角形 \(\text{R} {} _ 1 \text{R} {} _ 2 \text{R} {} _ 3\) の面積を \(S(a)\) とする. \(S(a)\) を最小にする \(a\) と, そのときの \(S(a)\) の値を求めよ.
\(z\) を複素数とする. 複素数平面上の \(3\) 点 \(\text{A} ( 1 )\) , \(\text{B} ( z )\) , \( \text{C} ( z^2 )\) が 鋭角三角形をなすような \(z\) の範囲を求め, 図示せよ.
\(k\) を正の整数とし, \(10\) 進法で表された小数点以下 \(k\) 桁の実数 \[ 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k = \dfrac{a _ 1}{10} +\dfrac{a _ 2}{10^2} +\cdots +\dfrac{a _ k}{10^k} \] を \(1\) つとる. ここで, \(a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ k\) は \(0\) から \(9\) までの整数で, \(a _ k \neq 0\) とする.
(1) 次の不等式をみたす正の整数 \(n\) をすべて求めよ. \[ 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k \leqq \sqrt{n} -10^k \lt 0. a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k +10^{-k} \]
(2) \(p\) が \(5 \cdot 10^{k-1}\) 以上の整数ならば, 次の不等式をみたす正の整数 \(m\) が存在することを示せ. \[ 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k \leqq \sqrt{m} -p \lt 0. a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k +10^{-k} \]
(3) 実数 \(x\) に対し, \(r \leqq x \lt r+1\) をみたす整数 \(r\) を \([x]\) で表す. \(\sqrt{s} -\left[ \sqrt{s} \right] = 0 . a _ 1 a _ 2 \cdots a _ k\) をみたす正の整数 \(s\) は存在しないことを示せ.
座標空間内を, 長さ \(2\) の線分 AB が次の \(2\) 条件 (a) , (b) をみたしながら動く.
(a) 点 A は平面 \(z=0\) 上にある.
(b) 点 C \(( 0 , 0 , 1 )\) が線分 AB 上にある.
このとき, 線分 AB が通過することのできる範囲を \(K\) とする. \(K\) と不等式 \(z \geqq 1\) の表す範囲との共通部分の体積を求めよ.