\(p , q\) を正の実数とする. \(x\) の方程式 \[ \log _ {10} (px) \cdot \log _ {10} (qx) +1 = 0 \] が \(1\) より大きい解をもつとき, 点 \(\left( \log _ {10} p , \log _ {10} q \right)\) の存在する範囲を座標平面上に図示せよ.

\(xyz\) 空間内の点 P \(( 1, 0, 1 )\) と, \(xy\) 平面上の円 \(C : \ x^2 +(y-2)^2 = 1\) に属する点 Q \(( \cos \theta , 2 +\sin \theta , 0 )\) を考える.

1. (1)　直線 PQ と平面 \(z = t\) の交点の座標を \(( \alpha , \beta , t )\) とするとき, \(\alpha^2 +\beta^2\) を \(t\) と \(\theta\) で表せ.

2. (2)　線分 PQ を \(z\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる曲面と平面 \(z = 0\) , \(z = 1\) によって囲まれる立体の体積を \(\theta\) で表せ.

3. (3)　Q が \(C\) 上を一周するとき, (2) で求めた体積の最大値, 最小値を求めよ.

\(e\) は自然対数の底とする. \(t \gt e\) において関数 \(f(t) , g(t)\) を次のように定める. \[ f(t) = \displaystyle\int _ 1^e \dfrac{t^2 \log x}{t-x} \, dx , \ g(t) =\displaystyle\int _ 1^e \dfrac{x^2 \log x}{t-x} \, dx \]

1. (1)　\(f(t) -g(t)\) を \(t\) の \(1\) 次式で表せ.

2. (2)　\(1 \leqq x \leqq e\) かつ \(t \gt e\) のとき, \(\dfrac{1}{t-x} \leqq \dfrac{1}{t-e}\) が成り立つことを用いて, \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} g(t) = 0\) を示せ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \left( f(t) -\dfrac{bt^2}{t-a} \right) =0\) となる定数 \(a , b\) を求めよ.

二つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) を次の漸化式によって定める. \[\begin{align} a _ 1 & =3 , \ b _ 1 =1 \\ a _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} \left( 3a _ n +5b _ n \right) \\ b _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} \left( a _ n +3b _ n \right) \end{align}\]

1. (1)　すべての自然数 \(n\) について, \({a _ n}^2 -5{b _ n}^2 = 4\) であることを示せ.

2. (2)　すべての自然数 \(n\) について, \(a _ n , b _ n\) は自然数かつ \(a _ n+b _ n\) は偶数であることを示せ.

行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{array} \right)\) について, 次の問いに答えよ.

1. (1)　\(P = \left( \begin{array}{cc} 1 & -a \\ a & 1 \end{array} \right)\) , \(D = \left( \begin{array}{cc} x & 0 \\ 0 & y \end{array} \right)\) とする. \(AP =PD\) が成り立つとき, \(a , x , y\) を求めよ. ただし \(a \gt 0\) とする.

2. (2)　\(\left( A +tE \right)^n =4E\) が成り立つような実数 \(t\) と自然数 \(n\) の組をすべて求めよ. ただし, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) とする.

放物線 \(C : \ y = x^2\) 上の異なる \(2\) 点 P \(( t , t^2 )\) , Q \(( s , s^2 ) \quad ( s \lt t )\) における接線の交点を R \(( X , Y )\) とする.

1. (1)　\(X , Y\) を \(t , s\) を用いて示せ.

2. (2)　点 P, Q が \(\angle \text{PRQ} =\dfrac{\pi}{4}\) を満たしながら \(C\) 上を動くとき, 点 R は双曲線上を動くことを示し, かつ, その双曲線の方程式を求めよ.