\(O\) を原点とする \(xy\) 平面において, 直線 \(y=1\) の \(\big| x \big| \geqq 1\) を満たす部分を \(C\) とする.
(1) \(C\) 上に点 \(A ( t , 1 )\) をとるとき, 線分 \(OA\) の垂直二等分線の方程式を求めよ.
(2) 点 \(A\) が \(C\) 全体を動くとき, 線分 \(OA\) の垂直二等分線が通過する範囲を求め, それを図示せよ.
自然数 \(n\) に対し, 関数 \[ F _ n(x) = \displaystyle\int _ x^{2x} e^{-t^n} \, dt \quad ( x \geqq 0 ) \] を考える.
(1) 関数 \(F _ n(x) \ ( x \geqq 0 )\) はただ一つの点で最大値をとることを示し, \(F _ n(x)\) が最大となるような \(x\) の値 \(a _ n\) を求めよ.
(2) (1) で求めた \(a _ n\) に対し, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \log a _ n\) を求めよ.
\(\alpha\) を \(0 \lt \alpha \lt \dfrac{\pi}{2}\) を満たす定数とする. 円 \(C : \ x^2+( y+ \sin \alpha )^2 = 1\) および, その中心を通る直線 \(l : \ y = ( \tan \alpha )x -\sin \alpha\) を考える. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 直線 \(l\) と円 \(C\) の \(2\) つの交点の座標を \(\alpha\) を用いて表せ.
(2) 等式 \[ 2 \displaystyle\int _ {\cos \alpha}^1 \sqrt{1-x^2} \, dx +\displaystyle\int _ {-\cos \alpha}^{\cos \alpha} \sqrt{1-x^2} \, dx = \dfrac{\pi}{2} \] が成り立つことを示せ.
(3) 連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y \leqq ( \tan \alpha )x -\sin \alpha \\ x^2+( y+ \sin \alpha )^2 \leqq 1 \end{array} \right. \] の表す \(xy\) 平面上の図形を \(D\) とする. 図形 \(D\) を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を求めよ.
数列 \(\{ a _ n \}\) を, \[\begin{align} a _ 1 & = 1 , \\ (n+3) a _ {n+1} -n a _ n & = \dfrac{1}{n+1} -\dfrac{1}{n+2} \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \end{align}\] によって定める.
(1) \(b _ n = n(n+1)(n+2) a _ n \ ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )\) によって定まる数列 \(\{ b _ n \}\) の一般項を求めよ.
(2) 等式 \[ p(n+1)(n+2) +qn(n+2) +rn(n+1) = b _ n \quad ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots ) \] 成り立つように, 定数 \(p , q , r\) の値を定めよ.
(3) \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^n a _ k\) を \(n\) の式で表せ.
実数を成分とする行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)\) を考える. 座標平面上の \(2\) 点 \(P \ ( x , y )\) , \(Q \ ( u , v )\) について等式 \[ \left( \begin{array}{c} u \\ v \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つとき, 行列 \(A\) により点 \(P\) は点 \(Q\) に移るという. 点 \(( 1 , 3 )\) は行列 \(A\) により点 \(( 10 , 10 )\) に移り, さらに等式 \[ A^2 -7A +10E = O \] が成り立つものとする. ただし, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) , \(O = \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{array} \right)\) である. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 行列 \(A\) により \(( 10 , 10 )\) が移る点の座標を求めよ.
(2) 実数 \(a , b , c , d\) の値を求めよ.
(3) 次の条件 (＊) を満たす直線 \(l\) の方程式を求めよ.
(＊) 直線 \(l\) 上のすべての点が行列 \(A\) により \(l\) 上の点に移る.
\(d\) を正の定数とする. \(2\) 点 \(A \ ( -d , 0 )\) , \(B \ ( d , 0 )\) からの距離の和が \(4d\) である点 \(P\) の軌跡として定まる楕円 \(E\) を考える. 点 \(A\) , 点 \(B\) , 原点 \(O\) から楕円 \(E\) 上の点 \(P\) までの距離をそれぞれ \(AP , BP , OP\) と書く. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 楕円 \(E\) の長軸と短軸の長さを求めよ.
(2) \(AP^2+BP^2\) および \(AP \cdot BP\) を, \(OP\) と \(d\) を用いて表せ.
(3) 点 \(P\) が楕円 \(E\) 全体を動くとき, \(AP^3+BP^3\) の最大値と最小値を \(d\) を用いて表せ.