\(k\) を実数とする. \(xy\) 平面の曲線 \(C _ 1 : \ y = x^2\) と \(C _ 2 : \ y = -x^2 +2kx +1 -k^2\) が異なる共有点 P , Q を持つとする. ただし点 P , Q の \(x\) 座標は正であるとする. また, 原点を O とする.

1. (1)　\(k\) のとりうる値の範囲を求めよ.

2. (2)　\(k\) が (1) の範囲を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の重心 G の軌跡を求めよ.

3. (3)　\(\triangle \text{OPQ}\) の面積を \(S\) とするとき, \(S^2\) を \(k\) を用いて表せ.

4. (4)　\(k\) が (1) の範囲を動くとする. \(\triangle \text{OPQ}\) の面積が最大となるような \(k\) の値と, そのときの重心 G の座標を求めよ.

\(xy\) 平面の直線 \(y = \left( \tan 2 \theta \right) x\) を \(\ell\) とする. ただし, \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\) とする. 図で示すように, 円 \(C _ 1 , C _ 2\) を以下の (i) ～ (iv) で定める.

1. (i)　円 \(C _ 1\) は直線 \(\ell\) および \(x\) 軸の正の部分と接する.

2. (ii)　円 \(C _ 1\) の中心は第 \(1\) 象限にあり, 原点 O から中心までの距離 \(d _ 1\) は \(\sin 2 \theta\) である.

3. (iii)　円 \(C _ 2\) は直線 \(\ell\) , \(x\) 軸の正の部分, および円 \(C _ 1\) と接する.

4. (iv)　円 \(C _ 2\) の中心は第 \(1\) 象限にあり, 原点 O から中心までの距離 \(d _ 2\) は \(d _ 1 \gt d _ 2\) を満たす.

円 \(C _ 1\) と円 \(C _ 2\) の共通接線のうち, \(x\) 軸, 直線 \(\ell\) と異なる直線を \(m\) とし, 直線 \(m\) と直線 \(\ell\) , \(x\) 軸との交点をそれぞれ P , Q とする.

1. (1)　円 \(C _ 1 , C _ 2\) の半径を \(\sin \theta , \cos \theta\) を用いて表せ.

2. (2)　\(\theta\) が \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\) の範囲を動くとき, 線分 PQ の長さの最大値を求めよ.

3. (3)　(2) の最大値を与える \(\theta\) について直線 \(m\) の方程式を求めよ.

四面体 OABC において, \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とおく. このとき等式 \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \] が成り立つとする. \(t\) は実数の定数で, \(0 \lt t \lt 1\) を満たすとする. 線分 OA を \(t : 1-t\) に内分する点を P とし, 線分 BC を \(t : 1-t\) に内分する点を Q とする. また, 線分 PQ の中点を M とする.

1. (1)　\(\overrightarrow{\text{OM}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) と \(t\) を用いて表せ.

2. (2)　線分 OM と線分 BM の長さが等しいとき, 線分 OB の長さを求めよ.

3. (3)　\(4\) 点 O , A , B , C が点 M を中心とする同一球面上にあるとする. このとき, \(\triangle \text{OAB}\) と \(\triangle \text{OCB}\) は合同であることを示せ.

関数 \(f(x) = 2 \sqrt{x} e^{-x} \ ( x \geqq 0 )\) について次の問いに答えよ.

1. (1)　\(f'(a) = 0\) , \(f''(b) = 0\) を満たす \(a , b\) を求め, \(y = f(x)\) のグラフの概形を描け. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \sqrt{x} e^{-x} = 0\) であることは証明なしに用いてよい.

2. (2)　\(k \geqq 0\) のとき \(V(k) = \displaystyle\int _ {0}^{k} x e^{-2x} \, dx\) を \(k\) を用いて表せ.

3. (3)　(1) で求めた \(a , b\) に対して曲線 \(y = f(x)\) と \(x\) 軸および \(2\) 直線 \(x=a\) , \(x=b\) で囲まれた図形を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.

\(\triangle \text{PQR}\) において \(\angle \text{RPQ} = \theta\) , \(\angle \text{PQR} = \dfrac{\pi}{2}\) とする. 点 \(\text{P} {} _ n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を次で定める. \[ \text{P} {} _ 1 = \text{P} , \quad \text{P} {} _ 2 = \text{Q} , \quad \text{P} {} _ n \text{P} {} _ {n+2} = \text{P} {} _ n \text{P} {} _ {n+1} \] ただし, 点 \(\text{P} {} _ {n+2}\) は線分 \(\text{P} {} _ n \text{R}\) 上にあるものとする. 実数 \(\theta _ n \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) を \[ \theta _ n = \angle \text{P} {} _ {n+1} \text{P} {} _ n \text{P} {} _ {n+2} \quad ( 0 \lt \theta _ n \lt \pi ) \] で定める.

1. (1)　\(\theta _ 2 , \theta _ 3\) を \(\theta\) を用いて表せ.

2. (2)　\(\theta _ {n+1} +\dfrac{\theta _ n}{2} \ ( n = 1, 2, 3, \cdots )\) は \(n\) によらない定数であることを示せ.

3. (3)　\(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \theta _ n\) を求めよ.

複素数平面上を動く点 \(z\) を考える. 次の問いに答えよ.

1. (1)　等式 \(| z-1 | = | z+1 |\) を満たす点 \(z\) の全体は虚軸であることを示せ.

2. (2)　点 \(z\) が原点を除いた虚軸上を動くとき, \(w = \dfrac{z+1}{z}\) が描く図形は直線から \(1\) 点を除いたものとなる. この図形を描け.

3. (3)　\(a\) を正の実数とする. 点 \(z\) が虚軸上を動くとき, \(w = \dfrac{za+1}{z-a}\) が描く図形は円から \(1\) 点を除いたものとなる. この円の中心と半径を求めよ.