正の実数 \(m , n\) に対して \(f( m , n )\) が次の等式を満たすように定められている. \[ \left\{ \begin{array}{l} f( 1 , 1 ) = 1 , \ f( 2 , 2 ) = 6 , \ f( 3 ,3 ) = 20 \\ f( m , n ) = 2 f( m-1 , n ) \quad ( m \geqq 2 )\\ f( m , n ) +3 f( m , n-2 ) = 3 f( m , n-1 ) +f( m , n-3 ) \quad ( n \geqq 4 )\end{array} \right. \] 次の問に答えよ.
(1) \(f( m , 1 )\) および \(f( 1 , n )\) をそれぞれ \(m , n\) の式で表せ.
(2) \(f( 6 , 32 )\) の値を求めよ.
(3) 任意の正の整数 \(l\) に対して, \(f( m , n ) = l\) を満たす正の整数 \(m , n\) が存在することを示せ.
正方形 ABCD を底面, 点 P を頂点とする正四角錐 PABCD に内接する球について考える. ただし, 正四角錐とは, 頂点と底面の正方形の中心を結ぶ直線が底面と垂直になる角錐である. 線分 AB の中点を M とし, 線分 AM および 線分 PM の長さをそれぞれ \(a , b\) とする. 次の問に答えよ.
(1) 内接する球の半径を \(a , b\) を用いて表せ.
(2) \(x = \dfrac{b}{a}\) と定めるとき, \(\dfrac{\text{内接する球の表面積}}{\text{正四角錐 PABCD の表面積}}\) を \(x\) で表し, その最大値を求めよ.
(3) (2) で最大値をとるときの正四角錐 PABCD の体積を \(a\) を用いて表せ.
複素数 \(z\) に対して \[ f(z) = \alpha z +\beta \] とする. ただし, \(\alpha , \beta\) は複素数の定数で \(\alpha \neq 1\) とする. \[ f^1 (z) = f(z) , \quad f^n (z) = f( f^{n-1} (z) ) \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \] と定める. 次の問に答えよ.
(1) \(f^n (z)\) を \(\alpha , \beta , z , n\) を用いて表せ.
(2) \(| \alpha | \lt 1\) のとき, すべての複素数 \(z\) に対して \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left| f^n (z) -\delta \right| = 0 \] が成り立つような複素数の定数 \(\delta\) を求めよ.
(3) \(| \alpha | = 1\) とする. 複素数の列 \(\{ f^n (z) \}\) に少なくとも \(3\) つの異なる複素数が現れるとき, これらの \(f^n (z) \ ( n = 1, 2, \cdots )\) は複素数平面内のある円 \(C _ z\) 上にある. 円 \(C _ z\) の中心と半径を求めよ.
\(f(x) = x^3 -x\) とする. \(xy\) 平面上の点 \(( p , q )\) から曲線 \(y = f(x)\) へ引いた接線を考える. 次の問に答えよ.
(1) 直線 \(y = m(x-p) +q\) が曲線 \(y = f(x)\) の接線となるための条件を \(m , p , q\) を用いて表せ.
(2) 点 \(( p , q )\) から曲線 \(y = f(x)\) に \(3\) 本の接線を引くことができるとき, \(p , q\) の条件を求めよ.
(3) (2) の条件を満たす点 \(( p , q )\) の範囲を図示せよ.
\(xyz\) 空間上に点 A \(( 0 , 0 , \sqrt{3} )\) をとる. \(xy\) 平面上の点 P \(( a , b , 0 )\) は, 線分 AP の長さが \(2\) で, \(a \geqq 0\) , \(b \geqq 0\) となるように動く. このとき線分 AP がえがく図形を \(F\) とする. 次の問に答えよ.
(1) 点 P の軌跡を \(xy\) 平面上に図示せよ.
(2) 点 Q \(( x , y , z )\) を図形 \(F\) 上の点とするとき, \(z\) を \(x , y\) を用いて表せ.
(3) 図形 \(F\) , 座標平面 \(x=0\) , \(y=0\) , \(z=0\) によって囲まれる部分を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転してできる回転体を \(V\) とする. \(V\) の平面 \(x=t\) による切り口の面積 \(S(t)\) を \(t\) を用いて表せ.
(4) \(V\) の体積を求めよ.