次の問いに答えよ.
(1) 関数 \(f(x) = \dfrac{\log (1-x)}{x}\) は \(0 \lt x \lt 1\) の範囲で減少することを示せ.
(2) 極限値 \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \dfrac{1}{\tan \left( \dfrac{(n+k) \pi}{6n} \right)} \] を求めよ.
数列 \(\{ a _ n \}\) は \[ a _ 1 = 5 , \quad {a _ 1}^2 +{a _ 2}^2 + \cdots +{a _ n}^2 = \dfrac{2}{3} a _ n a _ {n+1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] をみたすとする. 次の問いに答えよ.
(1) \(a _ 2 , a _ 3\) を求めよ.
(2) \(a _ {n+2}\) を \(a _ n , a _ {n+1}\) を用いて表せ.
(3) 一般項 \(a _ n\) を求めよ.
四面体 OABC があり, \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とする. 三角形 ABC の重心を G とする. 点 D , E , P を \(\overrightarrow{\text{OD}} = 2 \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OE}} = 3 \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{\text{OP}} = 6 \overrightarrow{\text{OG}}\) をみたす点とし, 平面 ADE と直線 OP の交点を Q とする. 次の問いに答えよ.
(1) \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) を用いて表せ.
(2) 三角形 ADE の面積を \(S _ 1\) , 三角形 QDE の面積を \(S _ 2\) とするとき, \(\dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を求めよ.
(3) 四面体 OADE の体積を \(V _ 1\) , 四面体 PQDE の体積を \(V _ 2\) とするとき, \(\dfrac{V _ 2}{V _ 1}\) を求めよ.
\(a\) を正の定数とする. \(2\) つの曲線 \(C _ 1 : \ y = x \log x\) と \(C _ 2 : \ y = ax^2\) の両方に接する直線の本数を求めよ. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{( \log x )^2}{x} = 0\) は証明なしに用いてよい.
\(xy\) 平面上に楕円 \(C : \ \dfrac{x^2}{4} +y^2 = 1\) がある. 次の問いに答えよ.
(1) 点 P \(( a , b )\) を通る \(C\) の接線が \(2\) 本あり, それらが直交するとき , \(a , b\) が満たす条件を求めよ.
(2) \(C\) に外接する長方形のうち, \(x\) 座標が \(1\) で \(y\) 座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ.