数列 \(\{ a _ n \}\) は \[ a _ 1 = 5 , \quad {a _ 1}^2 +{a _ 2}^2 + \cdots +{a _ n}^2 = \dfrac{2}{3} a _ n a _ {n+1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] をみたすとする. 次の問いに答えよ.
(1) \(a _ 2 , a _ 3\) を求めよ.
(2) \(a _ {n+2}\) を \(a _ n , a _ {n+1}\) を用いて表せ.
(3) 一般項 \(a _ n\) を求めよ.
四面体 OABC があり, \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とする. 三角形 ABC の重心を G とする. 点 D , E , P を \(\overrightarrow{\text{OD}} = 2 \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OE}} = 3 \overrightarrow{c}\) , \(\overrightarrow{\text{OP}} = 6 \overrightarrow{\text{OG}}\) をみたす点とし, 平面 ADE と直線 OP の交点を Q とする. 次の問いに答えよ.
(1) \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) を用いて表せ.
(2) 三角形 ADE の面積を \(S _ 1\) , 三角形 QDE の面積を \(S _ 2\) とするとき, \(\dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を求めよ.
(3) 四面体 OADE の体積を \(V _ 1\) , 四面体 PQDE の体積を \(V _ 2\) とするとき, \(\dfrac{V _ 2}{V _ 1}\) を求めよ.
\(a\) を正の定数とする. \(2\) つの曲線 \(C _ 1 : \ y = x \log x\) と \(C _ 2 : \ y = ax^2\) の両方に接する直線の本数を求めよ. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{( \log x )^2}{x} = 0\) は証明なしに用いてよい.
\(xy\) 平面上に楕円 \(C : \ \dfrac{x^2}{4} +y^2 = 1\) がある. 次の問いに答えよ.
(1) 点 P \(( a , b )\) を通る \(C\) の接線が \(2\) 本あり, それらが直交するとき , \(a , b\) が満たす条件を求めよ.
(2) \(C\) に外接する長方形のうち, \(x\) 座標が \(1\) で \(y\) 座標が正である頂点をもつものの面積を求めよ.
\(k\) を実数とする. \(xy\) 平面の曲線 \(C _ 1 : \ y = x^2\) と \(C _ 2 : \ y = -x^2 +2kx +1 -k^2\) が異なる共有点 P , Q を持つとする. ただし点 P , Q の \(x\) 座標は正であるとする. また, 原点を O とする.
(1) \(k\) のとりうる値の範囲を求めよ.
(2) \(k\) が (1) の範囲を動くとき, \(\triangle \text{OPQ}\) の重心 G の軌跡を求めよ.
(3) \(\triangle \text{OPQ}\) の面積を \(S\) とするとき, \(S^2\) を \(k\) を用いて表せ.
(4) \(k\) が (1) の範囲を動くとする. \(\triangle \text{OPQ}\) の面積が最大となるような \(k\) の値と, そのときの重心 G の座標を求めよ.
\(xy\) 平面の直線 \(y = \left( \tan 2 \theta \right) x\) を \(\ell\) とする. ただし, \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\) とする. 図で示すように, 円 \(C _ 1 , C _ 2\) を以下の (i) ～ (iv) で定める.
(i) 円 \(C _ 1\) は直線 \(\ell\) および \(x\) 軸の正の部分と接する.
(ii) 円 \(C _ 1\) の中心は第 \(1\) 象限にあり, 原点 O から中心までの距離 \(d _ 1\) は \(\sin 2 \theta\) である.
(iii) 円 \(C _ 2\) は直線 \(\ell\) , \(x\) 軸の正の部分, および円 \(C _ 1\) と接する.
(iv) 円 \(C _ 2\) の中心は第 \(1\) 象限にあり, 原点 O から中心までの距離 \(d _ 2\) は \(d _ 1 \gt d _ 2\) を満たす.
円 \(C _ 1\) と円 \(C _ 2\) の共通接線のうち, \(x\) 軸, 直線 \(\ell\) と異なる直線を \(m\) とし, 直線 \(m\) と直線 \(\ell\) , \(x\) 軸との交点をそれぞれ P , Q とする.
(1) 円 \(C _ 1 , C _ 2\) の半径を \(\sin \theta , \cos \theta\) を用いて表せ.
(2) \(\theta\) が \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{4}\) の範囲を動くとき, 線分 PQ の長さの最大値を求めよ.
(3) (2) の最大値を与える \(\theta\) について直線 \(m\) の方程式を求めよ.
四面体 OABC において, \(\overrightarrow{\text{OA}} = \overrightarrow{a}\) , \(\overrightarrow{\text{OB}} = \overrightarrow{b}\) , \(\overrightarrow{\text{OC}} = \overrightarrow{c}\) とおく. このとき等式 \[ \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} = \overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a} = 1 \] が成り立つとする. \(t\) は実数の定数で, \(0 \lt t \lt 1\) を満たすとする. 線分 OA を \(t : 1-t\) に内分する点を P とし, 線分 BC を \(t : 1-t\) に内分する点を Q とする. また, 線分 PQ の中点を M とする.
(1) \(\overrightarrow{\text{OM}}\) を \(\overrightarrow{a} , \overrightarrow{b} , \overrightarrow{c}\) と \(t\) を用いて表せ.
(2) 線分 OM と線分 BM の長さが等しいとき, 線分 OB の長さを求めよ.
(3) \(4\) 点 O , A , B , C が点 M を中心とする同一球面上にあるとする. このとき, \(\triangle \text{OAB}\) と \(\triangle \text{OCB}\) は合同であることを示せ.
関数 \(f(x) = 2 \sqrt{x} e^{-x} \ ( x \geqq 0 )\) について次の問いに答えよ.
(1) \(f'(a) = 0\) , \(f''(b) = 0\) を満たす \(a , b\) を求め, \(y = f(x)\) のグラフの概形を描け. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \sqrt{x} e^{-x} = 0\) であることは証明なしに用いてよい.
(2) \(k \geqq 0\) のとき \(V(k) = \displaystyle\int _ {0}^{k} x e^{-2x} \, dx\) を \(k\) を用いて表せ.
(3) (1) で求めた \(a , b\) に対して曲線 \(y = f(x)\) と \(x\) 軸および \(2\) 直線 \(x=a\) , \(x=b\) で囲まれた図形を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる回転体の体積を求めよ.