\(xyz\) 空間において, 原点を中心とする \(xy\) 平面上の半径 \(1\) の円周上を点 P が動き, 点 \(( 0 , 0 , \sqrt{3} )\) を中心とする \(xz\) 平面上の半径 \(1\) の円周上を点 Q が動く.
(1) 線分 PQ の長さの最小値と, そのときの点 P , Q の座標を求めよ.
(2) 線分 PQ の長さの最大値と, そのときの点 P , Q の座標を求めよ.
数列 \(\{ a _ k \}\) を \(a _ k = k +\cos \left( \dfrac{k \pi}{6} \right)\) で定める. \(n\) を正の整数とする.
(1) \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{12n} a _ k\) を求めよ.
(2) \(\textstyle\sum\limits _ {k=1}^{12n} {a _ k}^2\) を求めよ.
\(a , b , c\) は異なる \(3\) つの正の整数とする. 次のデータは \(2\) つの科目 X と Y の試験を受けた \(10\) 人の得点をまとめたものである. \[ \begin{array}{c|cccccccccc} & [1] & [2] & [3] & [4] & [5] & [6] & [7] & [8] & [9] & [10] \\ \hline \text{科目 X の得点} & a & c & a & b & b & a & c & c & b & c \\ \hline \text{科目 Y の得点} & a & b & b & b & a & a & b & a & b & a \end{array} \] 科目 X の得点の平均値と科目 Y の得点の平均値とは等しいとする.
(1) 科目 X の得点の分散を \({s _ X}^2\) , 科目 Y の得点の分散を \({s _ Y}^2\) とする. \(\dfrac{{s _ X}^2}{{s _ Y}^2}\) を求めよ.
(2) 科目 X の得点と科目 Y の得点の相関係数を, 四捨五入して小数第 \(1\) 位まで求めよ.
(3) 科目 X の得点の中央値が \(65\) , 科目 Y の得点の標準偏差が \(11\) であるとき, \(a , b , c\) の組を求めよ.
以下の命題 A , B それぞれに対し, その真偽を述べよ. また, 真ならば証明を与え, 偽ならば反例を与えよ.
命題 A \(n\) が正の整数ならば, \(\dfrac{n^3}{26} +100 \geqq n^2\) が成り立つ.
命題 B 整数 \(n , m , \ell\) が \(5n +5m +3 \ell = 1\) をみたすならば, \(10nm +3m \ell +3n \ell \lt 0\) が成り立つ.
座標平面上の \(2\) 点 A \(( -1 , 1 )\) , B \(( 1 , -1 )\) を考える. また, P を座標平面上の点とし, その \(x\) 座標の絶対値は \(1\) 以下であるとする. 次の条件 (i) または (ii) をみたす点 P の範囲を図示し, その面積を求めよ.
(i) 頂点の \(x\) 座標の絶対値が \(1\) 以上の \(2\) 次関数のグラフで, 点 A , P , B をすべて通るものがある.
(ii) 点 A , P , B は同一直線上にある.
\(\ell\) を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする. さらに, 以下の \(3\) 条件 (i) , (ii) , (iii) で定まる円 \(C _ 1 , C _ 2\) を考える.
(i) 円 \(C _ 1 , C _ 2\) は \(2\) つの不等式 \(x \geqq 0\) , \(y \geqq 0\) で定まる領域に含まれる.
(ii) 円 \(C _ 1 , C _ 2\) は直線 \(\ell\) と同一点で接する.
(iii) 円 \(C _ 1\) は \(x\) 軸と点 \(( 1 , 0 )\) で接し, 円 \(C _ 2\) は \(y\) 軸と接する.
円 \(C _ 1\) の半径を \(r _ 1\) , 円 \(C _ 2\) の半径を \(r _ 2\) とする. \(8 r _ 1 +9 r _ 2\) が最小となるような直線 \(\ell\) の方程式と, その最小値を求めよ.
投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれ \(\dfrac{1}{2}\) のコインを \(1\) 枚用意し, 次のように左から順に文字を書く.
コインを投げ, 表が出たときは文字列 A A を書き, 裏が出たときは文字 B を書く. さらに繰り返しコインを投げ, 同じ規則に従って, A A, B をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば, コインを \(5\) 回投げ, その出た目が順に表, 裏, 裏, 表, 裏であったとすると, 得られる文字列は
\[
\text{A A B B A A B}
\]
となる. このとき, 左から \(4\) 番目の文字は B, \(5\) 番目の文字は A である.
(1) \(n\) を正の整数とする. \(n\) 回コインを投げ, 文字列をつくるとき, 文字列の左から \(n\) 番目の文字が A となる確率を求めよ.
(2) \(n\) を \(2\) 以上の整数とする. \(n\) 回コインを投げ, 文字列を作るとき, 文字列の左から \(n-1\) 番目の文字が A で, かつ \(n\) 番目の文字が B となる確率を求めよ.
関数 \(f(x) = \dfrac{x}{\sqrt{1 +x^2}}\) について, 次の問に答えよ.
(1) \(y = f(x)\) のグラフの概形を描け.
(2) \(t \gt 0\) を媒介変数として, \(x = f'(t)\) , \(y = f(t) -t f'(t)\) で表される曲線の概形を描け.
(3) (2) の曲線の接線が \(x\) 軸と \(y\) 軸によって切り取られてできる線分の長さは一定であることを示せ.