名古屋大理系2015：第3問

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\(e\) を自然対数の底とし, \(t\) を \(t \gt e\) となる実数とする. このとき, 曲線 \(C : \ y = e^x\) と 直線 \(y = tx\) は相異なる \(2\) 点で交わるので, 交点のうち \(x\) 座標が小さいものを P , 大きいものを Q とし, P , Q の \(x\) 座標をそれぞれ \(\alpha , \beta \ ( \alpha \lt \beta )\) とする. また, P における \(C\) の接線と Q における \(C\) の接線との交点を R とし,

  • 曲線 \(C\) , \(x\) 軸および \(2\) つの直線 \(x = \alpha\) , \(x = \beta\) で囲まれる部分の面積を \(S _ 1\) ,

  • 曲線 \(C\) および \(2\) つの直線 PR , QR で囲まれる部分の面積を \(S _ 2\)

とする. このとき, 次の問に答えよ.

  1. (1)　\(\dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を \(\alpha\) と \(\beta\) を用いて表せ.

  2. (2)　\(\alpha \lt \dfrac{e}{t}\) , \(\beta \lt 2 \log t\) となることを示し, \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \dfrac{S _ 2}{S _ 1}\) を求めよ. 必要ならば, \(x \gt 0\) のとき \(e^x \gt x^2\) であることを証明なしに用いてよい.

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名古屋大理系2015：第4問

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数直線上にある \(1, 2, 3, 4, 5\) の \(5\) つの点と \(1\) つの石を考える. 石がいずれかの点にあるとき,

  • 石が点 \(1\) にあるならば, 確率 \(1\) で点 \(2\) に移動する.

  • 石が点 \(k \ ( k = 2, 3, 4 )\) にあるならば, 確率 \(\dfrac{1}{2}\) で点 \(k+1\) に移動する.

  • 石が点 \(5\) にあるならば, 確率 \(1\) で点 \(4\) に移動する.

という試行を行う. 石が点 \(1\) にある状態から始め, この試行を繰り返す. また, 石が移動した先の点に印をつけていく（点 \(1\) には初めから印がついているものとする）. このとき, 次の問に答えよ.

  1. (1)　試行を \(6\) 回繰り返した後に, 石が点 \(k \ ( k = 1, 2, 3, 4, 5 )\) にある確率をそれぞれ求めよ.

  2. (2)　試行を \(6\) 回繰り返した後に, \(5\) つのすべてに印がついている確率を求めよ.

  3. (3)　試行を \(n\) 回（ \(n \geqq 1\) ）繰り返した後に, ちょうど \(3\) つの点に印がついている確率を求めよ.

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医科歯科大2015：第1問

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\(n\) を自然数, \(m\) を \(2n\) 以下の自然数とする. \(1\) から \(n\) までの自然数が \(1\) つずつ記されたカードが, それぞれの数に対して \(2\) 枚ずつ, 合計 \(2n\) 枚ある. この中から, \(m\) 枚のカードを無作為に選んだとき, それらに記された数がすべて異なる確率を \(P _ n (m)\) と表す. ただし \(P _ n (1) = 1\) とする. さらに, \(E _ n (m) = m P _ n (m)\) とおく. このとき以下の各問いに答えよ.

  1. (1)　\(P _ 3 (2) , P _ 3 (3) , P _ 3 (4)\) を求めよ.

  2. (2)　\(E _ {10} (m)\) を最大にするような \(m\) を求めよ.

  3. (3)　自然数 \(n\) に対し, \(E _ n (m) \gt E _ n (m+1)\) を満たす自然数 \(m\) の最小値を \(f(n)\) とするとき, \(f(n)\) を \(n\) を用いて表せ. ただし, ガウス記号 \([ \quad ]\) を用いてよい. ここで, 実数 \(x\) に対して, \(x\) を超えない最大の整数を \([x]\) と表す.

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医科歯科大2015：第2問

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実数 \(a , b\) に対し, \(f(x) = x^3 -3ax +b\) とおく. \(-1 \leqq x \leqq 1\) における \(\left| f(x) \right|\) の最大値を \(M\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.

  1. (1)　\(a \gt 0\) のとき, \(f(x)\) の極値を \(a , b\) を用いて表せ.

  2. (2)　\(b \geqq 0\) のとき, \(M\) を \(a , b\) を用いて表せ.

  3. (3)　\(a , b\) が実数全体を動くとき, \(M\) のとりうる値の範囲を求めよ.

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医科歯科大2015：第3問

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座標平面上で次のように媒介変数表示される曲線 \(C\) を考える. \[ \left\{ \begin{array}{l} x = | \cos t | \cos^3 t \\ y = | \sin t | \sin^3 t \end{array} \right. \quad ( 0 \leqq t \leqq 2 \pi ) \] このとき以下の各問いに答えよ.

  1. (1)　次の条件 (＊) を満たす第 \(1\) 象限内の定点 F の座標を求めよ.

    1. (＊) 第 \(1\) 象限内で \(C\) 上にあるすべての点 P について, P から直線 \(x+y = 0\) に下ろした垂線を PH とするとき, つねに \(\text{PF} = \text{PH}\) となる.

  2. (2)　点 P が \(C\) 全体を動くとき, P と (1) の定点 F を結ぶ線分 PF が通過する領域を図示し, その面積を求めよ.

  3. (3)　(2) の領域を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転してできる立体の体積を求めよ.

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阪大理系2015：第1問

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自然数 \(n\) に対して関数 \(f _ n (x)\) を \[ f _ n (x) = \dfrac{x}{n (1+x)} \log \left( 1 +\dfrac{x}{n} \right) \quad ( x \geqq 0 ) \] で定める. 以下の問いに答えよ.

  1. (1)　\(\displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx \leqq \displaystyle\int _ 0^1 \log (1+x) \, dx\) を示せ.

  2. (2)　数列 \(\{ I _ n \}\) を \[ I _ n = \displaystyle\int _ 0^n f(x) \, dx \] で定める. \(0 \leqq x \leqq 1\) のとき \(\log ( 1+x ) \leqq \log 2\) であることを用いて数列 \(\{ I _ n \}\) が収束することを示し, その極限値を求めよ. ただし, \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow \infty} \dfrac{\log x}{x} = 0\) であることは用いてよい.

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