整数 \(n\) に対して, \[ I _ n = \displaystyle\int _ {\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \dfrac{\cos ( (2n+1) x )}{\sin x} \, dx \ . \] とする.
(1) \(I _ 0\) を求めよ.
(2) \(n\) を正の整数とするとき, \(I _ n -I _ {n-1}\) を求めよ.
(3) \(I _ 5\) を求めよ.
以下の問いに答えよ.
(1) \(n\) を自然数, \(a\) を正の定数として, \[ f(x) = (n+1) \left\{ \log (a+x) -\log (n+1) \right\} -n \left( \log a -\log n \right) -\log x \] とおく. \(x \gt 0\) における関数 \(f(x)\) の極値を求めよ. ただし, 対数は自然対数とする.
(2) \(n\) が \(2\) 以上の自然数のとき, 次の不等式が成り立つことを示せ. \[ \dfrac{1}{n} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^n \dfrac{k+1}{k} \gt (n+1)^{\frac{1}{n}} \]
自然数 \(n\) に対し, \(3\) 個の数字 \(1, 2, 3\) から重複を許して \(n\) 個並べたもの \(( x _ 1 , x _ 2 , \cdots , x _ n)\) の全体の集合を \(S _ n\) とおく. \(S _ n\) の要素 \(( x _ 1 , x _ 2 , \cdots , x _ n)\) に対し, 次の \(2\) つの条件を考える.
条件 \( \text{C} {} _ {12}\) : \(1 \leqq i \lt j \leqq n\) である整数 \(i , j\) の組で, \(x _ i = 1\) , \(x _ j = 2\) を満たすものが少なくとも \(1\) つ存在する.
条件 \( \text{C} {} _ {123}\) : \(1 \leqq i \lt j \lt k \leqq n\) である整数 \(i , j , k\) の組で, \(x _ i = 1\) , \(x _ j = 2\) , \(x _ k = 3\) を満たすものが少なくとも \(1\) つ存在する.
例えば, \(S _ 4\) の要素 \(( 3, 1, 2, 2 )\) は条件 \( \text{C} {} _ {12}\) を満たすが, 条件 \( \text{C} {} _ {123}\) は満たさない.
\(S _ n\) の要素 \(( x _ 1 , x _ 2 , \cdots , x _ n)\) のうち, 条件 \( \text{C} {} _ {12}\) を満たさないものの個数を \(f(n)\) , 条件 \( \text{C} {} _ {123}\) を満たさないものの個数を \(g(n)\) とおく. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(4)\) と \(g(4)\) を求めよ.
(2) \(f(n)\) を \(n\) を用いて表せ.
(3) \(g(n+1)\) を \(g(n)\) と \(f(n)\) を用いて表せ.
(4) \(g(n)\) を \(n\) を用いて表せ.
\(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) を満たす実数 \(\theta\) に対し, \(xyz\) 空間内の \(4\) 点 A \(( \cos \theta , \cos \theta , \sin \theta )\) , B \(( -\cos \theta , -\cos \theta , \sin \theta )\) , C \(( \cos \theta , -\cos \theta , -\sin \theta )\) , D \(( -\cos \theta , \cos \theta , -\sin \theta )\) を頂点とする四面体の体積を \(V( \theta )\) , この四面体の \(xz\) 平面による切り口の面積を \(S( \theta )\) とする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(S \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\) , \(V \left( \dfrac{\pi}{6} \right)\) をそれぞれ求めよ.
(2) \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) における \(S( \theta )\) の最大値を求めよ.
(3) \(0 \lt \theta \lt \dfrac{\pi}{2}\) における \(V( \theta )\) の最大値を求めよ.
\(a\) を正の実数, \(k\) を自然数とし, \(x \gt 0\) で定義される関数 \[ f(x) = \displaystyle\int _ a^{ax} \dfrac{k +\sqrt[k]{u}}{ku} \, du \ . \] を考える. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(x)\) の増減および凹凸を調べ, \(y = f(x)\) のグラフの概形をかけ.
(2) \(S\) を正の実数とするとき, \(f(p) = S\) を満たす実数 \(p\) がただ \(1\) つ存在することを示せ.
(3) \(b = \dfrac{k}{k +\sqrt[k]{a}}\) とおくとき, (2) の \(S , p\) について, 次の不等式が成立することを示せ. \[ 1 +bS \lt p \lt e^{bS} \]
空間内にある半径 \(1\) の球（内部を含む）を \(B\) とする. 直線 \(\ell\) と \(B\) が交わっており, その交わりは長さ \(\sqrt{3}\) の線分である.
(1) \(B\) の中心と \(\ell\) との距離を求めよ.
(2) \(\ell\) のまわりに \(B\) を \(1\) 回転してできる立体の体積を求めよ.
実数 \(t\) に対して, \(2\) 点 P \(( t , t^2 )\) , Q \(( t+1 , (t+1)^2 )\) を考える. \(t\) が \(-1 \leqq t \leqq 0\) の範囲を動くとき, 線分 PQ が通過してできる図形を図示し, その面積を求めよ.
\(xy\) 平面の \(y \geqq 0\) の部分にあり, \(x\) 軸に接する円の列 \(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3 , \cdots\) を次のように定める.
\(C _ 1\) と \(C _ 2\) は半径 \(1\) の円で, 互いに外接する.
正の整数 \(n\) に対し, \(C _ {n+2}\) は \(C _ n\) と \(C _ {n+1}\) に外接し, \(C _ n\) と \(C _ {n+1}\) の弧および \(x\) 軸に囲まれる部分にある.
円 \(C _ n\) の半径を \(r _ n\) とする.
(1) 等式 \(\dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{r _ n}} +\dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+1}}}\) を示せ.
(2) すべての正の整数 \(n\) に対して \(\dfrac{1}{\sqrt{r _ n}} = s {\alpha}^n +t {\beta}^n\) が成り立つように, \(n\) によらない定数 \(\alpha , \beta , s , t\) の値を一組与えよ.
(3) \(n \rightarrow \infty\) のとき数列 \(\left\{ \dfrac{r _ n}{k^n} \right\}\) が正の値に収束するように実数 \(k\) の値を定め, そのときの極限値を求めよ.
(1)
円 \(C _ n\) の中心を \(\text{A} _ n\) , \(x\) 軸との接点を \(\text{H} _ n\) とおく. \[\begin{align} \text{H} _ n \text{H} _ {n+1} & = \sqrt{( r _ n +r _ {n+1})^2 -( r _ n -r _ {n+1})^2} \\ & = 2 \sqrt{r _ n r _ {n+1}} \ . \end{align}\] 同様に \[ \text{H} _ {n+1} \text{H} _ {n+2} = 2 \sqrt{r _ {n+1} r _ {n+2}} , \ \text{H} _ n \text{H} _ {n+2} = 2 \sqrt{r _ n r _ {n+2}} \ . \] \(\text{H} _ n \text{H} _ {n+1} = \text{H} _ {n+1} \text{H} _ {n+2} +\text{H} _ n \text{H} _ {n+2}\) なので \[\begin{align} 2 \sqrt{r _ n r _ {n+1}} & = 2 \sqrt{r _ {n+1} r _ {n+2}} +2 \sqrt{r _ n r _ {n+2}} \\ \text{∴} \quad \dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+2}}} & = \dfrac{1}{\sqrt{r _ n}} +\dfrac{1}{\sqrt{r _ {n+1}}} \ . \end{align}\]
(2)
\(a _ n = \dfrac{1}{\sqrt{r _ n}}\) とおくと, (1) の結果より \[ a _ {n+2} -a _ {n+1} -a _ n = 0 \quad ... [1] \ . \] 方程式 \(x^2 -x -1 = 0\) の解を \(p , q \ ( p \gt q )\) とおくと \[ p = \dfrac{1 +\sqrt{5}}{2} , \ q = \dfrac{1 -\sqrt{5}}{2} \ . \] また, 解と係数の関係より \(p+q = 1\) , \(pq = -1\) なので, [1] より \[\begin{align} a _ {n+2} -p a _ {n+1} & = q \left( a _ {n+1} -p a _ n \right) , \\ a _ {n+2} -q a _ {n+1} & = p \left( a _ {n+1} -q a _ n \right) \ . \end{align}\] したがって, \(a _ 1 = a _ 2 = 1\) であることを用いれば \[\begin{align} a _ {n+1} -p a _ n & = q^{n-1} \left( a _ 2 -p a _ 1 \right) = q^{n-1} (1-p) = q^n, \\ a _ {n+1} -q a _ n & = p^{n-1} \left( a _ 2 -q a _ 1 \right) = p^{n-1} (1-q) = p^n \ . \end{align}\] 辺々を引くと \[\begin{align} (p-q) a _ n & = p^n -q^n \\ \text{∴} \quad a _ n & = \dfrac{1}{p-q} \left( p^n -q^n \right) \ . \end{align}\] \(p-q = \sqrt{5}\) なので, 求める組合せの \(1\) つは \[ \alpha = \underline{\dfrac{1 +\sqrt{5}}{2}} , \ \beta = \underline{\dfrac{1 -\sqrt{5}}{2}} , \ s = t = \underline{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} \ . \]
(3)
(2) の結果を用いれば
\[\begin{align}
\dfrac{r _ n}{k^n} & = \dfrac{1}{k^n \left( s {\alpha}^n +t {\beta}^n \right)^2} \\
& = \underline{\dfrac{1}{\left( k {\alpha}^2 \right)^n}} _ {[2]} \cdot \underline{\dfrac{1}{\left\{s +t \left( \frac{\beta}{\alpha} \right)^n \right\}^2}} _ {[3]} \ .
\end{align}\]
下線部 [3] について, \(\left| \dfrac{\beta}{\alpha} \right| \lt 1\) なので, \(n \rightarrow \infty\) のとき
\[
[3] \rightarrow \dfrac{1}{s^2} = \dfrac{1}{5} \ .
\]
したがって, 下線部 [2] が, 正の値に収束する条件を考えればよい.
よって, 求める \(k\) の値は
\[\begin{align}
k {\alpha}^2 & = 1 \\
\text{∴} \quad k & = \dfrac{1}{{\alpha}^2} = \underline{\dfrac{3 -\sqrt{5}}{2}} \ .
\end{align}\]
また, このとき
\[\begin{align}
\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \dfrac{r _ n}{k^n} = \underline{\dfrac{1}{5}} \ .
\end{align}\]