\(3\) 以上の奇数 \(n\) に対して, \(a _ n\) と \(b _ n\) を次のように定める. \[ a _ n = \dfrac{1}{6} \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n-1} (k-1) k (k+1) , \ \ b _ n = \dfrac{n^2-1}{8} \]

1. (1)　\(a _ n\) と \(b _ n\) はどちらも整数であることを示せ.

2. (2)　\(a _ n -b _ n\) は \(4\) の倍数であることを示せ.

\(a \gt 1\) とし, 次の不等式を考える. \[ \text{(＊)} \quad \dfrac{e^t -1}{t} \geqq e^{\frac{t}{a}} \]

1. (1)　\(a = 2\) のとき, すべての \(t \gt 0\) に対して上の不等式 (＊) が成り立つことを示せ.

2. (2)　すべての \(t \gt 0\) に対して上の不等式 (＊) が成り立つような \(a\) の範囲を求めよ.

\(1\) 個のさいころを投げて, 出た目が \(1\) か \(2\) であれば行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{array} \right)\) を, 出た目が \(3\) か \(4\) であれば行列 \(B = \left( \begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)\) を, 出た目が \(5\) か \(6\) であれば行列 \(C = \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) を選ぶ. そして, 選んだ行列の表す \(1\) 次変換によって \(xy\) 平面上の点 R を移すという操作を行う. 点 R は最初は点 \((0,1)\) にあるものとし, さいころを投げて点 R を移す操作を \(n\) 回続けて行ったときに点 R が点 \((0,1)\) にある確率を \(p _ n\) , 点 \((0,-1)\) にある確率を \(q _ n\) とする.

1. (1)　\(p _ 1 , p _ 2\) と \(q _ 1 , q _ 2\) を求めよ.

2. (2)　\(p _ n + q _ n\) と \(p _ {n-1} + q _ {n-1}\) の関係式を求めよ. また, \(p _ n - q _ n\) と \(p _ {n-1} - q _ {n-1}\) の関係式を求めよ.

3. (3)　\(p _ n\) を \(n\) を用いて表せ.

点 P \((t,s)\) が \(s = \sqrt{2} t^2 -2t\) を満たしながら \(xy\) 平面上を動くとき, 点 P を原点を中心として \(45^{\circ}\) 回転した点 Q の軌跡として得られる曲線を \(C\) とする. 　さらに, 曲線 \(C\) と \(x\) 軸で囲まれた図形を \(D\) とする.

1. (1)　点 Q \((x,y)\) の座標を, \(t\) を用いて表せ.

2. (2)　直線 \(y = a\) と曲線 \(C\) がただ \(1\) つ共有点を持つような定数 \(a\) の値を求めよ.

3. (3)　図形 \(D\) を \(y\) 軸のまわりに \(1\) 回転して得られる回転体の体積 \(V\) を求めよ.