\(N\) を \(2\) 以上の自然数とし, \(a _ n\) （ \(n=1, 2, \cdots\) ）を次の性質 (i) , (ii) をみたす数列とする.
(i) \(a _ 1 = 2^N-3\) ,
(ii) \(n=1, 2, \cdots\) に対して,
\(a _ n\) が偶数のとき \(a _ {n+1} = \dfrac{a _ n}{2}\) , \(a _ n\) が奇数のとき \(a _ {n+1} = \dfrac{a _ n-1}{2}\) .
このときどのような自然数 \(M\) に対しても \[ \sum\limits _ {n=1}^M a _ n \leqq 2^{N+1} -N-5 \] が成り立つことを示せ.
\(n\) を自然数とし, 整式 \(x^n\) を整式 \(x^2-2x-1\) で割った余りを \(ax+b\) とする. このとき \(a\) と \(b\) は整数であり, さらにそれらをともに割り切る素数は存在しないことを示せ.
\(-\dfrac{\pi}{2} \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}\) における \(\cos x +\dfrac{\sqrt{3}}{4} x^2\) の最大値を求めよ. ただし, \(\pi \gt 3.1\) および \(\sqrt{3} \gt 1.7\) が成り立つことは証明なしに用いてよい.
\(xy\) 平面内で, \(y\) 軸上の点 P を中心とする円 \(C\) が \(2\) つの曲線 \[ C _ 1 : \ y = \sqrt{3} \log (1+x) , \quad C _ 2 ： \ y = \sqrt{3} \log (1-x) \] とそれぞれ点 A , 点 B で接しているとする. さらに △PAB は A と B が \(y\) 軸に関して対称な位置にある正三角形であるとする. このとき \(3\) つの曲線 \(C , C _ 1 , C _ 2\) で囲まれた部分の面積を求めよ.
投げたとき表が出る確率と裏が出る確率が等しい硬貨を用意する. 数直線上に石を置き, この硬貨を投げて表が出れば数直線上で原点に関して対称な点に石を移動し, 裏が出れば数直線上で座標 \(1\) の点に関して対称な点に石を移動する.
(1) 石が座標 \(x\) の点にあるとする. \(2\) 回硬貨を投げたとき, 石が座標 \(x\) の点にある確率を求めよ.
(2) 石が原点にあるとする. \(n\) を自然数とし, \(2n\) 回硬貨を投げたとき, 石が座標 \(2n-2\) の点にある確率を求めよ.
実数 \(a , b\) に対し平面上の点 \(\text{P} {} _ n \ ( x _ n , y _ n )\) を \[\begin{align} ( x _ 0 , y _ 0 ) & = (1,0) \\ ( x _ {n+1} , y _ {n+1} ) & = ( ax _ n -by _ n , bx _ n +ay _ n ) \end{align}\] によって定める. このとき, 次の条件 (i) , (ii) がともに成り立つような \((a,b)\) をすべて求めよ.
(i) \(\text{P} {} _ 0 = \text{P} {} _ 6\)
(ii) \(\text{P} {} _ 0 , \text{P} {} _ 1 , \text{P} {} _ 2 , \text{P} {} _ 3 , \text{P} {} _ 4 , \text{P} {} _ 5\) は相異なる.
\(a\) を実数とし, \(x \gt 0\) で定義された関数 \(f(x)\) , \(g(x)\) を次のように定める. \[\begin{align} f(x) & = \dfrac{\cos x}{x} \\ g(x) & = \sin x +ax \end{align}\] このとき, \(y = f(x)\) のグラフと \(y = g(x)\) のグラフが \(x \gt 0\) において共有点をちょうど \(3\) つ持つような \(a\) をすべて求めよ.
A , B の \(2\) 人がいる. 投げたとき表裏の出る確率がそれぞれ \(\dfrac{1}{2}\) のコインが \(1\) 枚あり, 最初は A がそのコインを持っている. 次の操作を繰り返す.
(i) A がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば A に \(1\) 点を与え, コインは A がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, A はコインを B に渡す.
(ii) B がコインを持っているときは, コインを投げ, 表が出れば B に \(1\) 点を与え, コインは B がそのまま持つ. 裏が出れば, 両者に点を与えず, B はコインを A に渡す.
そしてA , B のいずれかが \(2\) 点を獲得した時点で, \(2\) 点を獲得した方の勝利とする. たとえば, コインが表, 裏, 表, 表と出た場合, この時点で A は \(1\) 点, B は \(2\) 点を獲得しているので, B の勝利となる.
(1) A , B あわせてちょうど \(n\) 回コインを投げ終えたときに, A の勝利となる確率 \(p _ n\) を求めよ.
(2) \(\sum\limits _ {n=1}^{\infty} p(n)\) を求めよ.