東大理系2013：第4問

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△ABC において, \(\angle \text{BAC} = 90^{\circ}\) , \(\left| \overrightarrow{\text{AB}} \right| = 1\) , \(\left| \overrightarrow{\text{AC}} \right| = \sqrt{3}\) とする. △ABC の内部の点 P が \[ \dfrac{\overrightarrow{\text{PA}}}{\left| \overrightarrow{\text{PA}} \right|} +\dfrac{\overrightarrow{\text{PB}}}{\left| \overrightarrow{\text{PB}} \right|} +\dfrac{\overrightarrow{\text{PC}}}{\left| \overrightarrow{\text{PC}} \right|} = \overrightarrow{0} \] を満たすとする.

  1. (1)　\(\angle \text{APB}\) , \(\angle \text{APC}\) を求めよ.

  2. (2)　\(\left| \overrightarrow{\text{PA}} \right|\) , \(\left| \overrightarrow{\text{PB}} \right|\) , \(\left| \overrightarrow{\text{PC}} \right|\) を求めよ.

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東大理系2013：第5問

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次の命題Pを証明したい.

  1. 命題P：次の条件 (a) , (b) をともにみたす自然数（ \(1\) 以上の整数） \(A\) が存在する.

    1. (a)　\(A\) は連続する \(3\) つの自然数の積である.

    2. (b)　\(A\) を \(10\) 進法で表したとき, \(1\) が連続して \(99\) 回以上現れるところがある.

以下の問いに答えよ.

  1. (1)　\(y\) を自然数とする. このとき不等式 \[ x^3+3yx^2 \lt (x+y-1)(x+y)(x+y+1) \lt x^3 +(3y+1)x^2 \] が成り立つような正の実数 \(x\) の範囲を求めよ.

  2. (2)　命題Pを証明せよ.

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東大理系2013：第6問

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座標空間において, \(xy\) 平面内で不等式 \(|x| \leqq 1\) , \(|y| \leqq 1\) により定まる正方形 \(S\) の \(4\) つの頂点を A \(( -1, 1, 0 )\) , B \(( 1, 1, 0 )\) , C \(( 1, -1, 0 )\) , D \(( -1, -1, 0 )\) とする. 　正方形 \(S\) を, 直線 BD を軸として回転させてできる立体を \(V _ 1\) , 　直線 AC を軸として回転させてできる立体を \(V _ 2\) とする.

  1. (1)　\(0 \leqq t \lt 1\) を満たす実数 \(t\) に対し, 平面 \(x=t\) による \(V _ 1\) の切り口の面積を求めよ.

  2. (2)　\(V _ 1\) と \(V _ 2\) の共通部分の体積を求めよ.

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東大文系2007：第2問

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\(r\) は \(0 \lt r \lt 1\) をみたす実数, \(n\) は \(2\) 以上の整数とする. 平面上に与えられた \(1\) つの円を, 次の条件【1】, 【2】をみたす \(2\) つの円で置き換えられる操作を (P) を考える.

  1. 【1】 新しい \(2\) つの円の半径の比は \(r : 1-r\) で, 半径の和はもとの円の半径に等しい.

  2. 【2】 新しい \(2\) つの円は互いに外接し, もとの円に内接する.

以下のようにして, 平面上に \(2^n\) 個の円を作る.

  • 最初に, 平面上に半径 \(1\) の円を描く.

  • 次に, この円に対して操作(P)を行い, \(2\) つの円を得る（これを \(1\) 回目の操作という）.

  • \(k\) 回目の操作で得られた \(2^k\) 個の円のそれぞれについて, 操作 (P) を行い, \(2^{k+1}\) 個の円を得る（ \(1 \leqq k \leqq n-1\) ）.

  1. (1)　\(n\) 回目の操作で得られる \(2^n\) 個の円の周の長さの和を求めよ.

  2. (2)　\(2\) 回目の操作で得られる \(4\) つの円の面積の和を求めよ.

  3. (3)　\(n\) 回目の操作で得られる \(2^n\) 個の円の面積の和を求めよ.

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東大文系2007：第4問

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表が出る確率が \(p\) , 裏が出る確率が \(1-p\) であるような硬貨がある. ただし, \(0 \lt p \lt 1\) とする. この硬貨を投げて, 次のルール (R) の下で, ブロック積みゲームを行う.

  1. (R)
    1. [1]　ブロックの高さは, 最初は \(0\) とする.
    2. [2]　硬貨を投げて表が出れば高さ \(1\) のブロックを \(1\) つ積み上げ, 裏が出ればブロックをすべて取り除いて高さ \(0\) に戻す.

\(n\) を正の整数, \(m\) を \(0 \leqq m \leqq n\) をみたす整数とする.

  1. (1)　\(n\) 回硬貨を投げたとき, 最後にブロックの高さが \(m\) となる確率 \(p _ m\) を求めよ.

  2. (2)　(1) で, 最後にブロックの高さが \(m\) 以下となる確率 \(q _ m\) を求めよ.

  3. (3)　ルール (R) の下で, \(n\) 回の硬貨投げを独立に \(2\) 度行い, それぞれ最後のブロックの高さを考える. \(2\) 度のうち, 高い方のブロックの高さが \(m\) である確率 \(r _ m\) を求めよ. ただし, 最後のブロックの高さが等しいときはその値を考えるものとする.

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一橋大2007：第1問

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\(m\) を整数とし, \(f(x) = x^3+8x^2+mx+60\) とする.

  1. (1)　整数 \(a\) と, \(0\) ではない整数 \(b\) で, \(f(a+bi) = 0\) をみたすものが存在するような \(m\) をすべて求めよ. ただし, \(i\) は虚数単位である.

  2. (2)　(1) で求めたすべての \(m\) に対して, 方程式 \(f(x) = 0\) を解け.

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