医科歯科大2007：第2問

投稿日時: 投稿者:
返信

座標平面上の動点 Q が以下の規則 (a) ～ (f) に従って \(1\) 秒ごとに移動する.

  1. (a)　原点 \((0,0)\) を出発点とし, まず点 \((1,0)\) または点 \((0,1)\) または点 \((0,-1)\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{3}\) で移動する.

  2. (b)　ある時刻に点 \(( x-1 , y )\) から点 \(( x , y )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x+1 , y )\) または点 \(( x , y+1 )\) または点 \(( x , y-1 )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{3}\) で移動する.

  3. (c)　ある時刻に点 \(( x , 0 )\) から点 \(( x , 1 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x , 2 )\) または点 \(( x+1 , y )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で移動する.

  4. (d)　ある時刻に点 \(( x , 0 )\) から点 \(( x , -1 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x , -2 )\) または点 \(( x+1 , -1 )\) に, それぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) で移動する.

  5. (e)　ある時刻に点 \(( x , 1 )\) または点 \(( x , -1 )\) から点 \(( x , 0 )\) に移動したならば, その \(1\) 秒後には点 \(( x+1 , 0 )\) に移動する.

  6. (f)　直線 \(y = 2\) 上の点または直線 \(y = -2\) 上の点に達した場合には停止する.

このとき以下の各問いに答えよ.

  1. (1)　\(n\) を正の整数とするとき, Q がある時刻に点 \(( n-1 , 0 )\) に位置し, かつその \(1\) 秒後に点 \(( n , 0 )\) に移動している確率を \(p _ n\) とする. また Q がある時刻に点 \(( n-1 , 1 )\) に位置し, かつその \(1\) 秒後に点 \(( n , 1 )\) に移動している確率を \(p' _ n\) とする. \(p _ 1 , p _ 2 , p' _ 1 , p' _ 2\) をそれぞれ求めよ.

  2. (2)　Q が直線 \(x=2\) 上の点に達する確率, および直線 \(x=3\) 上の点に達する確率をそれぞれ求めよ.

  3. (3)　\(m\) を正の整数とするとき, Q が \(( m , 0 )\) に達する確率を \(m\) で表せ.

続きを読む →

医科歯科大2007：第3問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(ad -bc = 1 , \ a \gt 0\) を満たす整数 \(a , b , c , d\) を考える. 行列 \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} 6 & 10 \\ 10 & 17 \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{array} \right) , \\ M & = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right) , \quad N = \left( \begin{array}{cc} a & c \\ b & d \end{array} \right) \ . \end{align}\] が \(NA = BM^{-1}\) を満たすとき, 以下の各問いに答えよ. ただし, \(M^{-1}\) は \(M\) の逆行列を表す.

  1. (1)　\(6a^2+20ac+17c^2\) の値を求めよ.

  2. (2)　\(2a^2+b^2\) の値を求めよ.

  3. (3)　\(a , b , c , d\) の値を求めよ.

  4. (4)　\(6x^2+20xy+17y^2 = 59\) を満たす実数 \(x , y\) に対して \[ \left\{ \begin{array}{l} X = dx-by \\ Y = -cx+ay \end{array} \right. \ . \] とおくとき, \(X^2+2Y^2\) の値を求めよ.

  5. (5)　\(6x^2+20xy+17y^2 = 59\) を満たす整数の組 \((x,y)\) をすべて求めよ.

続きを読む →

阪大理系2007：第1問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(n\) を自然数とする. 関数 \(y = \sqrt{x}\) のグラフを \(C\) とし, \(C\) 上の \(2\) 点 \(( n , \sqrt{n})\) と \(( n+1 , \sqrt{n+1})\) を通る直線を \(l\) とする. \(C\) と \(l\) で囲まれた部分を \(x\) 軸のまわりに \(1\) 回転させてできる立体の体積を \(V\) とする. このとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} n^a V = b\) を満たす正の数 \(a , b\) を求めよ.

続きを読む →

阪大理系2007：第2問

投稿日時: 投稿者:
返信

次の問いに答えよ.

  1. (1)　\(x\) が正の数のとき \(| \log x | \leqq \dfrac{|x-1|}{\sqrt{x}}\) を示せ.

  2. (2)　\(p , q , r\) が \(p+q+r = 1\) を満たす正の数のとき \[ p^2+q^2+r^2 \geqq \dfrac{1}{3} \] を示せ.

  3. (3)　\(a , b , c\) が相異なる正の数で, \(\sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c} = 1\) を満たすとき \[ \dfrac{ab}{b-a} \log \dfrac{b}{a} +\dfrac{bc}{c-b} \log \dfrac{c}{b} +\dfrac{ca}{a-c} \log \dfrac{a}{c} \leqq \dfrac{1}{3} \] を示せ.

続きを読む →

阪大理系2007：第3問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(xy\) 平面において, 原点 O を通る半径 \(r \ ( r \gt 0 )\) の円を \(C\) とし, その中心を A とする. O を除く \(C\) 上の点 P に対し, 次の \(2\) つの条件 (a) , (b) で定まる点 Q を考える.

  1. (a)　\(\overrightarrow{\text{OP}}\) と \(\overrightarrow{\text{OQ}}\) の向きが同じ.

  2. (b)　\(\left| \overrightarrow{\text{OP}} \right| \left| \overrightarrow{\text{OQ}} \right| = 1\)

以下の問いに答えよ.

  1. (1)　点 P が O を除く \(C\) 上を動くとき, 点 Q は \(\overrightarrow{\text{OA}}\) に直交する直線上を動くことを示せ.

  2. (2)　(1) の直線を \(l\) とする. \(l\) が \(C\) と \(2\) 点で交わるとき, \(r\) のとりうる値の範囲を求めよ.

続きを読む →

阪大理系2007：第4問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(f(x) = x^3-x\) とし, \(t\) を実数とする. \(xy\) 平面において, 曲線 \(y = f(x)\) を \(C _ 1\) とし, 直線 \(x=t\) に関して \(C _ 1\) と対称な曲線 \[ y = f (2t-x) \] を \(C _ 2\) とする.

  1. (1)　\(C _ 1\) と \(C _ 2\) が \(3\) 点で交わるとき, \(t\) のとりうる値の範囲を求めよ.

  2. (2)　\(t\) が (1) で求めた範囲を動くとき, \(C _ 1\) と \(C _ 2\) で囲まれた部分の面積 \(S\) の最大値を求めよ.

続きを読む →

阪大理系2007：第5問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする. \(4\) 個の行列 \[\begin{align} A & = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{array} \right) , \\ C & = \left( \begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{array} \right) , \quad D = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \ . \end{align}\] を重複を許して \(n\) 個並べたものを \[ M _ 1 , M _ 2 , \cdots , M _ n \ . \] とする.

  1. (1)　積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できる場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.

  2. (2)　積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できて, その積が零行列でない \(2 \times 3\) 行列となる場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.

  3. (3)　積 \(M _ 1 M _ 2 \cdots M _ n\) が定義できて, その積が零行列とならない場合は何通りあるか. その数を \(n\) の式で表せ.

続きを読む →

東工大2007：第1問

投稿日時: 投稿者:
返信

\(p\) を素数, \(n\) を \(0\) 以上の整数とする.

  1. (1)　\(m\) は整数で \(0 \leqq m \leqq n\) とする. \(1\) から \(p^{n+1}\) までの整数の中で, \(p^m\) で割り切れ \(p^{m+1}\) で割り切れないものの個数を求めよ.

  2. (2)　\(1\) から \(p^{n+1}\) までの \(2\) つの整数 \(x , y\) に対し, その積が \(p^{n+1}\) で割り切れるような組 \((x,y)\) の個数を求めよ.

続きを読む →