正数 \(a\) に対して, 放物線 \(y = x^2\) 上の点 \(A \ (a,a^2)\) における接線を, \(A\) を中心に \(-30^{\circ}\) 回転した直線を \(\ell\) とする. \(\ell\) と \(y = x^2\) の交点で \(A\) でない方を \(B\) とする. さらに, 点 \((a,0)\) を \(C\) , 原点を \(O\) とする.
(1) \(\ell\) の式を求めよ.
(2) 線分 \(OC , CA\) と \(y = x^2\) で囲まれる部分の面積を \(S(a)\) , 線分 \(AB\) と \(y = x^2\) で囲まれる部分の面積を \(T(a)\) とする. このとき \[ \displaystyle\lim _ {a \rightarrow \infty} \dfrac{T(a)}{S(a)} \] を求めよ.
一辺の長さが \(1\) の正八角形 \(A _ 1 A _ 2 \cdots A _ 8\) の周上を \(3\) 点 \(P , Q , R\) が動くとする.
(1) \(\triangle PQR\) の面積の最大値を求めよ.
(2) \(Q\) が正八角形の頂点 \(A _ 1\) に一致し, \(\angle PQR = 90^{\circ}\) となるとき \(\triangle PQR\) の面積の最大値を求めよ.
(1) 整数 \(n = 0, 1, 2, \cdots\) と正数 \(a _ n\) に対して \[ f _ n (x) = a _ n (x-n) (n+1-x) \] とおく. \(2\) つの曲線 \(y = f _ n (x)\) と \(y = e^{-x}\) が接するような \(a _ n\) を求めよ.
(2) \(f _ n (x)\) は (1) で定めたものとする. \(y = f _ 0 (x) , \ y = e^{-x}\) と \(y\) 軸で囲まれる図形の面積を \(S _ 0 \ ( n \geqq 1 )\) に対し \(y = f _ {n-1} (x) , \ y = f _ {n} (x)\) と \(y = e^{-x}\) で囲まれる図形の面積を \(S _ n\) とおく. このとき \[ \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( S _ 0 + S _ 1 + \cdots + S _ n \right) \] を求めよ.
以下の各問にそれぞれ答えよ.
問1. 定積分 \(\displaystyle\int _ 0^2 \dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+4}} \, dx\) を求めよ.
問2. \(1\) 歩で \(1\) 段または \(2\) 段のいずれかで階段を昇るとき, \(1\) 歩で \(2\) 段昇ることは連続しないものとする. \(15\) 段の階段を昇る昇り方は何通りあるか.
\(x , y\) を相異なる正の実数とする. 数列 \(\{ a _ n \}\) を \[ a _ 1 = 0 , \ a _ {n+1} = x a _ n +y^{n+1} \quad ( n = 1, 2, 3, \cdots ) \] によって定めるとき, \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) が有限の値に収束するような座標平面上の点 \(( x , y )\) の範囲を図示せよ.
\(p\) を \(3\) 以上の素数とする. \(4\) 個の整数 \(a , b , c , d\) が次の \(3\) 条件 \[ a+b+c+d = 0 , \ ad-bc+p = 0 , \ a \geqq b \geqq c \geqq d \] を満たすとき, \(a , b , c , d\) を \(p\) を用いて表せ.
点 O を中心とする円に内接する △ABC の \(3\) 辺 AB, BC, CA をそれぞれ \(2 : 3\) に内分する点を P, Q, R とする. △PQR の外心が点 O と一致するとき, △ABC はどのような三角形か.
\(A\) を \(2\) 次の正方行列とする. 列ベクトル \(\overrightarrow{x _ 0}\) に対し, 列ベクトル \(\overrightarrow{x _ 1} , \overrightarrow{x _ 2} , \cdots\) を \[ \overrightarrow{x _ {n+1}} = A \overrightarrow{x _ n} \quad ( n = 0, 1, 2, \cdots ) \] によって定める. ある零ベクトルではない \(\overrightarrow{x _ 0}\) について, \(3\) 以上の自然数 \(m\) で初めて \(\overrightarrow{x _ m}\) が \(\overrightarrow{x _ 0}\) と一致するとき, 行列 \(A^m\) は単位行列であることを示せ.