実数 \(t\) は \(0 \lt t \lt 1\) を満たすとし, 座標平面上の \(4\) 点O \((0,0)\) , A \((0,1)\) , B \((1,0)\) , C \((t,0)\) を考える. また線分 AB 上の点 D を \(\angle \text{ACO} = \angle \text{BCD}\) となるように定める. \(t\) を動かしたときの三角形 ACD の面積の最大値を求めよ.
図のように, 正三角形を \(9\) つの部屋に辺で区切り, 部屋 P , Q を定める. \(1\) つの球が部屋 P を出発し, \(1\) 秒ごとに, そのままその部屋にとどまることなく, 辺を共有する隣の部屋に等確率で移動する. 球が \(n\) 秒後に部屋 Q にある確率を求めよ.
座標平面上の放物線 \(C\) を \(y =x^2+1\) で定める. \(s , t\) は実数とし, \(t \lt 0\) を満たすとする. 点 \((s,t)\) から放物線 \(C\) へ引いた接線を \(l _ 1 , l _ 2\) とする.
(1) \(l _ 1 , l _ 2\) の方程式を求めよ.
(2) \(a\) を正の実数とする. 放物線 \(C\) と直線 \(l _ 1 , l _ 2\) で囲まれる領域の面積が \(a\) となる \((s,t)\) を全て求めよ.
多項式 \(f(x)\) について, 次の条件 (i) , (ii) , (iii) を考える.
(i) \(x^4 f \left( \dfrac{1}{x} \right) = f(x)\)
(ii) \(f(1-x) = f(x)\)
(iii) \(f(1) = 1\)
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 条件 (i) をみたす多項式 \(f(x)\) の次数は \(4\) 以下であることを示せ.
(2) 条件 (i) , (ii) , (iii) をすべてみたす多項式 \(f(x)\) を求めよ.
\(n\) を \(2\) 以上の自然数とする. 平面上の \(\triangle \text{OA} {} _ 1 \text{A} {} _ 2\) は \(\angle \text{OA} {} _ 2 \text{A} {} _ 1 = 90^{\circ}\) , \(\text{OA} {} _ 1 = 1\) , \(\text{A} {} _ 1 \text{A} {} _ 2 = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) をみたすとする. \(\text{A} {} _ 2\) から \(\text{OA} {} _ 1\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ 3\) とする. \(\text{A} {} _ 3\) から \(\text{OA} {} _ 2\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ 4\) とする. 以下同様に, \(k=4, 5, \cdots\) について, \(\text{A} {} _ k\) から \(\text{OA} {} _ {k-1}\) へ垂線をおろし, 交点を \(\text{A} {} _ {k+1}\) として, 順番に \(\text{A} {} _ 5 , \text{A} {} _ 6 , \cdots\) を定める. \(\overrightarrow{h _ k} = \overrightarrow{\text{A} {} _ k \text{A} {} _ {k+1}}\) とおくとき, 以下の問いに答えよ.
(1) \(k=1, 2, \cdots\) のとき, ベクトル \(\overrightarrow{h _ k}\) と \(\overrightarrow{h _ {k+1}}\) の内積 \(\overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}}\) を \(n\) と \(k\) で表せ.
(2) \(S _ n = \textstyle\sum\limits _ {k=1}^{n} \overrightarrow{h _ k} \cdot \overrightarrow{h _ {k+1}}\) とおくとき, 極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} S _ n\) を求めよ. ここで, 自然対数の底 \(e\) について, \(e = \displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} \left( 1 +\dfrac{1}{n} \right)^n\) であることを用いてもよい.
\(\theta\) を \(0 \lt \theta \lt \dfrac{2 \pi}{3}\) の範囲にある実数とし, 空間の \(4\) 点 O , A , B , C が, \(\text{OA} = \text{OB} = \text{OC} = 1\) かつ \(\angle \text{AOB} = \angle \text{BOC} = \angle \text{COA} = \theta\) をみたすとする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) △ABC の重心を G とするとき, AG と OG をそれぞれ \(\theta\) で表せ.
(2) \(\theta\) を動かしたとき, O , A , B , C を頂点とする四面体の体積の最大値を求めよ.
点 P が次のルール (i) , (ii) に従って数直線上を移動するものとする.
(i) \(1, 2, 3, 4, 5, 6\) の目が同じ割合で出るサイコロを振り, 出た目の数を \(k\) とする. P の座標 \(a\) について, \(a \gt 0\) ならば座標 \(a-k\) の点へ移動し, \(a \lt 0\) ならば座標 \(a+k\) の点へ移動する.
(ii) 原点に移動したら終了し, そうでなければ (i) を繰り返す.
このとき, 以下の問いに答えよ.
(1) P の座標が \(1, 2, \cdots , 6\) のいずれかであるとき, ちょうど \(3\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.
(2) P の座標が \(1, 2, \cdots , 6\) のいずれかであるとき, ちょうど \(m\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.
(3) P の座標が \(8\) であるとき, ちょうど \(n\) 回サイコロを振って原点で終了する確率を求めよ.
\(a\) を実数として, \(2\) 次の正方行列 \(A , B\) を次のように定める. \[ A = \left( \begin{array}{cc} 1 & a+1 \\ 0 & -1 \end{array} \right) , \quad B = \left( \begin{array}{cc} a & 0 \\ 2 & -a \end{array} \right) \] このとき, \(\left\{ ( \cos t ) A +( \sin t ) B \right\}^2 = O\) をみたす実数 \(t\) が存在するような \(a\) の範囲を求めよ. ただし, \(O\) は零行列とする.