\(f(x) = \dfrac{1}{3} x^3 -\dfrac{1}{2} ax^2\) とおく. ただし \(a \gt 0\) とする.

1. (1)　\(f(-1) \leqq f(3)\) となる \(a\) の範囲を求めよ.

2. (2)　\(f(x)\) の極小値は \(f(-1)\) 以下となる \(a\) の範囲を求めよ.

3. (3)　\(-1 \leqq x \leqq 3\) における \(f(x)\) の最小値を \(a\) を用いて表せ.

\(3\) つの曲線 \[\begin{align} C _ 1 : \ y & = \sin x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \\ C _ 2 : \ y & = \cos x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \\ C _ 3 : \ y & = \tan x \quad \left( 0 \leqq x \lt \frac{\pi}{2} \right) \end{align}\] について以下の問いに答えよ.

1. (1)　\(C _ 1\) と \(C _ 2\) の交点, \(C _ 2\) と \(C _ 3\) の交点, \(C _ 3\) と \(C _ 1\) の交点のそれぞれについて \(y\) 座標を求めよ.

2. (2)　\(C _ 1 , C _ 2 , C _ 3\) によって囲まれる図形の面積を求めよ.

\(n\) を自然数とし, \(1\) から \(n\) までの自然数の積を \(n !\) で表す. このとき以下の問いに答えよ.

1. (1)　単調に増加する連続関数 \(f(x)\) に対して, 不等式 \(\displaystyle\int _ {k-1}^k f(x) \, dx \leqq f(k)\) を示せ.

2. (2)　不等式 \(\displaystyle\int _ 1^n \log x \, dx \leqq \log n !\) を示し, 不等式 \(n^n e^{1-n} \leqq n !\) を導け.

3. (3)　\(x \geqq 0\) に対して, 不等式 \(x^n e^{1-n} \leqq n !\) を示せ.

点 \(O\) を原点とする座標平面上に, \(2\) 点 \(A \ (1,0)\) , \(B \ ( \cos \theta ,\sin \theta ) \ ( 90^{\circ} \lt \theta \lt 180^{\circ} )\) をとり, 以下の条件をみたす \(2\) 点 \(C , D\) を考える. \[ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OC} = 1 , \ \overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OD} = 0 , \ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OC} = 0 , \ \overrightarrow{OB} \cdot \overrightarrow{OD} = 1 \] また, \(\triangle OAB\) の面積 \(S _ 1\) , \(\triangle OCD\) の面積 \(S _ 2\) とおく.

1. (1)　ベクトル \(\overrightarrow{OC}\) , \(\overrightarrow{OD}\) の成分を求めよ.

2. (2)　\(S _ 2 = 2 S _ 1\) が成り立つとき, \(\theta\) と \(S _ 1\) の値を求めよ.

3. (3)　\(S = 4 S _ 1 +3 S _ 2\) を最小にする \(\theta\) と, そのときの \(S\) の値を求めよ.

\(a\) を実数とし, \(A = \left( \begin{array}{cc} a+1 & a \\ 3 & a+2 \end{array} \right)\) とする. \(2\) 点 \(P (x,y)\) , \(Q (X,Y)\) について \[ \left( \begin{array}{c} X \\ Y \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right) \] が成り立つとき, \(P\) は \(A\) により \(Q\) に移るという.

1. (1)　原点以外の点で, \(A\) によりそれ自身に移るものが存在するとき, \(a\) を求めよ.

2. (2)　次の条件 (＊) をみたす \(a , k\) を求めよ.

   1. (＊)　直線 \(\ell : \ y = kx+1\) 上のすべての点は, \(A\) により \(\ell\) 上の点に移る.

3. (3)　(＊) をみたす \(a , k\) に対し, 直線 \(\ell\) 上の点で, \(A\) によりそれ自身に移るものを求めよ.

直線 \(\ell : \ mx+ny = 1\) が, 楕円 \(C : \ \dfrac{x^2}{a^2} +\dfrac{y^2}{b^2} =1 \ ( a \gt b \gt 0 )\) に接しながら動くとする.

1. (1)　点 \((m,n)\) の軌跡は楕円になることを示せ.

2. (2)　\(C\) の焦点 \(F _ 1 \left( -\sqrt{a^2-b^2} , 0 \right)\) と \(\ell\) との距離を \(d _ 1\) とし, もう \(1\) つの焦点 \(F _ 2 \left( \sqrt{a^2-b^2} , 0 \right)\) と \(\ell\) との距離を \(d _ 2\) とする. このとき \(d _ 1 d _ 2 = b^2\) を示せ.