原点を O とする \(xy\) 平面上に, \(2\) 直線 \[\begin{align} \ell _ 1 & : \ y =mx \\ \ell _ 2 & : \ y = -mx \end{align}\] がある. ただし, \(m \gt 1\) とする. \(\ell _ 1\) 上に点 P \(( s, ms )\) , \(\ell _ 2\) 上に点 Q \(( t, -mt )\) を \(s \neq 0 , \ t \neq 0\) となるようにとる. P を通り \(\ell _ 1\) に垂直な直線と, Q を通り \(\ell _ 2\) に垂直な直線の交点を R とする. 次の問いに答えよ.
(1) R の座標を求めよ.
(2) PQ と OR が平行となるように, P , Q を動かすとき, R の軌跡を求めよ.
連立不等式 \[ \left\{\begin{array}{l} x^2 +\left( y -\dfrac{1}{2} \right)^2 \leqq 1 \\ y \geqq 0 \end{array}\right. \] の表す図形を \(x\) 軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ.
数列 \(\left\{ a _ n \right\}\) を \[ a _ 1 = \dfrac{1}{2} , \ a _ {n+1} =1-{a _ n}^2 \quad ( n =1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. 次の問いに答えよ.
(1) \(0 \lt a _ {2n-1} \leqq \dfrac{1}{2}\) , \(\dfrac{3}{4} \leqq a _ {2n} \lt 1\) （ \(n =1, 2, 3, \cdots\) ）であることを示せ.
(2) \(x\) が \(0 \leqq x \leqq \dfrac{1}{2}\) の範囲を動くとき, 関数 \(f(x) = 2x -x^3\) のとる値の範囲を求める.
(3) \(\dfrac{2 _ {2n+1}}{a _ {2n-1}} \leqq \dfrac{7}{8}\) （ \(n =1, 2, 3, \cdots\) ）であることを示せ.
\(p , q\) を正の実数とする. \(x\) の方程式 \[ \log _ {10} (px) \cdot \log _ {10} (qx) +1 = 0 \] が \(1\) より大きい解をもつとき, 点 \(\left( \log _ {10} p , \log _ {10} q \right)\) の存在する範囲を座標平面上に図示せよ.
\(xyz\) 空間内の点 P \(( 1, 0, 1 )\) と, \(xy\) 平面上の円 \(C : \ x^2 +(y-2)^2 = 1\) に属する点 Q \(( \cos \theta , 2 +\sin \theta , 0 )\) を考える.
(1) 直線 PQ と平面 \(z = t\) の交点の座標を \(( \alpha , \beta , t )\) とするとき, \(\alpha^2 +\beta^2\) を \(t\) と \(\theta\) で表せ.
(2) 線分 PQ を \(z\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる曲面と平面 \(z = 0\) , \(z = 1\) によって囲まれる立体の体積を \(\theta\) で表せ.
(3) Q が \(C\) 上を一周するとき, (2) で求めた体積の最大値, 最小値を求めよ.
\(e\) は自然対数の底とする. \(t \gt e\) において関数 \(f(t) , g(t)\) を次のように定める. \[ f(t) = \displaystyle\int _ 1^e \dfrac{t^2 \log x}{t-x} \, dx , \ g(t) =\displaystyle\int _ 1^e \dfrac{x^2 \log x}{t-x} \, dx \]
(1) \(f(t) -g(t)\) を \(t\) の \(1\) 次式で表せ.
(2) \(1 \leqq x \leqq e\) かつ \(t \gt e\) のとき, \(\dfrac{1}{t-x} \leqq \dfrac{1}{t-e}\) が成り立つことを用いて, \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} g(t) = 0\) を示せ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {t \rightarrow \infty} \left( f(t) -\dfrac{bt^2}{t-a} \right) =0\) となる定数 \(a , b\) を求めよ.
二つの数列 \(\{ a _ n \} , \{ b _ n \}\) を次の漸化式によって定める. \[\begin{align} a _ 1 & =3 , \ b _ 1 =1 \\ a _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} \left( 3a _ n +5b _ n \right) \\ b _ {n+1} & = \dfrac{1}{2} \left( a _ n +3b _ n \right) \end{align}\]
(1) すべての自然数 \(n\) について, \({a _ n}^2 -5{b _ n}^2 = 4\) であることを示せ.
(2) すべての自然数 \(n\) について, \(a _ n , b _ n\) は自然数かつ \(a _ n+b _ n\) は偶数であることを示せ.
行列 \(A = \left( \begin{array}{cc} 1 & -2 \\ -2 & 1 \end{array} \right)\) について, 次の問いに答えよ.
(1) \(P = \left( \begin{array}{cc} 1 & -a \\ a & 1 \end{array} \right)\) , \(D = \left( \begin{array}{cc} x & 0 \\ 0 & y \end{array} \right)\) とする. \(AP =PD\) が成り立つとき, \(a , x , y\) を求めよ. ただし \(a \gt 0\) とする.
(2) \(\left( A +tE \right)^n =4E\) が成り立つような実数 \(t\) と自然数 \(n\) の組をすべて求めよ. ただし, \(E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\) とする.