座標空間内に \(5\) 点 \[ \text{P} \ (0,0,h) , \quad \text{Q} \ (t,0,0) , \quad \text{R} \ (0,t,0) , \quad \text{S} \ (-t,0,0) , \quad \text{T} \ (0,-t,0) \] をとる. ここで \(t , h\) は \(0 \lt t \lt 1 , \ h \gt 0\) を満たす実数である. また点 A \((1,1,0)\) と点 Q を結ぶ線分の長さは線分 PQ の長さと等しいとする. このとき以下の各問いに答えよ.
(1) 四角錘 PQRST の表面積を \(t\) を用いて表せ.
(2) \(h\) を \(t\) を用いて表せ.
(3) \(t\) が \(0 \lt t \lt 1\) の範囲で変化するとき, 四角錘 PQRST の体積の最大値を求めよ.
以下の各問いに答えよ. ただし \(t\) は \(0 \lt t \lt \pi\) を満たす実数とする.
(1) 次の等式を証明せよ. \[ \left( \cos \dfrac{t}{2} \right) \left( \cos \dfrac{t}{4} \right) \left( \cos \dfrac{t}{8} \right) = \dfrac{\sin t}{8 \sin \dfrac{t}{8}} \]
(2) 次のように定義される数列 \(\{ a _ n \}\) の極限値 \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} a _ n\) を \(t\) を用いて表せ. \[ a _ 1 = \cos \dfrac{t}{2} , \ a _ n = a _ {n-1} \left( \cos \dfrac{t}{2^n} \right) \quad ( n =2, 3, \cdots ) \]
(3) 数列 \(\{ b _ n \} , \{ c _ n \}\) を次のように定義する. \[\begin{align} b _ 1 & = \sqrt{\dfrac{1}{2}} , \ b _ n = \sqrt{\dfrac{1 +b _ {n-1}}{2}} \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \\ c _ 1 & = \sqrt{\dfrac{1}{2}} , \ c _ n = c _ {n-1} b _ n \quad ( n = 2, 3, \cdots ) \end{align}\] このとき \(\displaystyle\lim _ {n \rightarrow \infty} c _ n\) を求めよ.
微分可能な関数 \(f(x) , g(x)\) が次の \(4\) 条件を満たしている.
(a) 任意の正の実数 \(x\) について, \(f(x) \gt 0 , \ g(x) \gt 0\)
(b) 任意の実数 \(x\) について, \(f(-x) =f(x) , \ g(-x) = -g(x)\)
(c) 任意の実数 \(x\) , \(y\) について, \(f(x+y) = f(x)f(y) +g(x)g(y)\)
(d) \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{g(x)}{x} = 2\)
このとき以下の各問いに答えよ.
(1) \(f(0)\) および \(g(0)\) を求めよ.
(2) \(\left\{ f(x) \right\}^2 -\left\{ g(x) \right\}^2\) を求めよ.
(3) \(\displaystyle\lim _ {x \rightarrow 0} \dfrac{1-f(x)}{x^2}\) を求めよ.
(4) \(f(x)\) の導関数を \(g(x)\) を用いて表せ.
(5) 曲線 \(y = f(x)g(x)\) , 直線 \(x = a \ ( a \gt 0 )\) および \(x\) 軸で囲まれる図形の面積が \(1\) のとき, \(f(a)\) の値を求めよ.
\(2\) 次の正方行列 \(A _ 0 , A _ 1 , A _ 2 , A _ 3 , \cdots\) を \[ A _ 0 = O , \quad A _ n = B +A _ {n-1} C \quad ( n =1, 2, 3, \cdots ) \] で定める. ただし, \(O\) は \(2\) 次の零行列, \(B\) と \(C\) は \(2\) 次の正方行列とする.
(1) \(A _ n ( E-C )\) を \(B\) と \(C\) を用いて表せ. ここで \(E\) は \(2\) 次の単位行列とする.
(2) \(B\) と \(C\) を \[ B = \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right) , \quad C = \left( \begin{array}{cc} 1 & 3 \\ -1 & 1 \end{array} \right) \] とするとき, \(A _ {3n}\) を求めよ.
点 O で交わる \(2\) つの半直線 OX , OY があって \(\angle \text{XOY} = 60^{\circ}\) とする. \(2\) 点 A , B が OX 上に, O , A , B の順に, また, \(2\) 点 C , D が OY 上に O , C , D の順に並んでいるとして, 線分 AC の中点を M , 線分 BD の中点を N とする. 線分 AB の長さを \(s\) , 線分 CD の長さを \(t\) とするとき, 以下の問いに答えよ.
(1) 線分 MN の長さを \(s\) と \(t\) を用いて表せ.
(2) 点 A , B と C , D が, \(s^2+t^2=1\) を満たしながら動くとき, 線分 MN の長さの最大値を求めよ.
\(N\) を \(2\) 以上の自然数とする.
(1) 関数 \(f(x) = (N-x) \log x\) を \(1 \leqq x \leqq N\) の範囲で考える. このとき, 曲線 \(y =f(x)\) は上に凸であり, 関数 \(f(x)\) は最大値を \(1\) つだけとる. このことを示せ.
(2) 自然数の列 \(a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ N\) を \[ a _ n = n^{N-n} \quad ( n =1, 2, \cdots , N ) \] で定める. \(a _ 1 , a _ 2 , \cdots , a _ N\) のうちで最大の値を \(M\) とし, \(M = a _ n\) となる \(n\) の個数を \(k\) とする. このとき \(k \leqq 2\) であることを示せ.
(3) (2) で \(k=2\) となるのは, \(N\) が \(2\) のときだけであることを示せ.
\(t\) を負の実数とし, \(xy\) 平面上で曲線 \(y = 2^{2x+2t}\) と曲線 \(y = 2^{x+3t}\) および \(y\) 軸で囲まれる部分を \(D\) とする.
(1) \(D\) を \(x\) 軸の周りに \(1\) 回転させてできる回転体の体積 \(V(t)\) を求めよ.
(2) \(t\) が負の実数の範囲を動くとき, \(V(t)\) の最大値を求めよ.
\(1\) 枚の硬貨を繰り返し投げる反復試行を行い, 表が \(500\) 回続けて出たときに終わるものとする. \(n\) を \(500\) 以上の自然数とするとき, この反復試行が \(n\) 回目で終わる確率を \(p(n)\) とする.
(1) \(501 \leqq n \leqq 1000\) のとき, \(p(n)\) は \(n\) に関係なく一定の値になることを示し, またその値を求めよ.
(2) \(p(1002) -p(1001)\) の値を求めよ.
(3) \(1002 \leqq n \leqq 1500\) のとき, \(p(n+1) -p(n)\) の値を求めよ.